Teoría del nudo

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La teoría de nudos es el estudio de las incrustaciones de variedades unidimensionales en el espacio euclidiano tridimensional o en una esfera . En un sentido más amplio, el tema de la teoría de nudos son las incrustaciones de esferas en variedades y las incrustaciones de variedades en general. $S^{3}$

Conceptos básicos de la teoría de nudos

La incrustación (más a menudo, su imagen) de una suma desconectada de instancias de un círculo en o se denomina enlace de multiplicidad . $\mu$ $\mathbb{R} ^{3}$ $S^{3}$ $\mu$

El enlace de multiplicidad se llama nudo . $\mu=1$

Los nodos que componen un enlace dado se denominan sus componentes .

Las clases de enlaces de isotopía de volumen se denominan tipos de enlaces . Los enlaces del mismo tipo se denominan equivalentes .

Un enlace que consta de algunos de los componentes del enlace se denomina enlace parcial . $L$

Se dice que un enlace se divide (o se divide ) si sus dos enlaces parciales están separados por una esfera bidimensional. $S^{3}$

Algunos tipos de enlaces

El enlace " " que se encuentra en el plano de se llama trivial . $0,\;0,\;\ldots,\;0$ $\mathbb{R} ^{3}$
Un enlace se llama Brunnian si cada uno de sus enlaces parciales se descompone, a excepción de sí mismo.
Los más estudiados son los enlaces lineales por partes. La consideración de incrustaciones topológicas suaves o localmente planas conduce a una teoría que coincide con la lineal por partes. $\mathbb{R} ^{3}$
Además del plano, cualquier vínculo se puede ubicar en una superficie anidada estándar en una superficie cerrada. Por ejemplo, se puede colocar un enlace en un toro o pretzel sin anudar, entonces dicho enlace se llamará tórico o pretzel , respectivamente . $\mathbb{R} ^{3}$
El eslabón que se encuentra en el límite de la vecindad tubular del nodo se denomina devanado del nodo . El enganche, que puede obtenerse tomando repetidamente los devanados, a partir de un nudo trivial, se denomina cable tubular o complejo . $k$

Definición de enlaces

Por lo general, los enlaces se definen por medio de los llamados diagramas de nudos y enlaces . Este método está muy relacionado con el concepto de trenzas . Si en una trenza de hilos conectamos en la parte superior e inferior de pares de extremos adyacentes con segmentos, obtenemos un enlace llamado plexo. $2n$ $norte$ $2n$

Otra forma de construir enlaces a partir de trenzas es cerrar las trenzas. Si entre dos planos paralelos y en tomamos segmentos ortogonales a ellos y conectamos sus extremos en pares con arcos en y arcos en sin intersecciones, entonces la suma de todos los arcos y segmentos dará un enlace. Un enlace que admite tal representación se llama enlace puente . $\Pi_{1}$ $\ Pi _ {2}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $2m$ $metro$ $\Pi_{1}$ $metro$ $\ Pi _ {2}$ $metro$

Tabla de nodos

Para clasificar los nodos, se compilan tablas de nodos [1] : una lista de diagramas de todos los nodos simples que permiten proyecciones en un plano.

Para facilitar la búsqueda y la unificación, los nodos tienen una designación estándar: el primer dígito indica el número de puntos dobles y el segundo (ubicado en el índice) indica el número ordinal del nodo.

Además de la designación estándar, varios de los nodos más simples tienen nombres especiales. Por ejemplo:

nudo - trébol ; $3_{1}$
nodo - " ocho ", o nodo de listado; $4_{1}$
nodo - el nodo " Sello de Salomón ". $5_{1}$

Para nudos de múltiples componentes, el número de componentes se indica en el superíndice: por ejemplo, la unión de dos anillos tiene la notación simbólica . $2_{1}^{2}$

Invariantes de nudos y enlaces

Casi la única forma de probar que los nudos no son isomorfos es usar invariantes : números o expresiones asociadas con un nudo (o enlace) que no cambian con su isotopía. Entonces basta con probar la no isomorfismo encontrando un invariante cuyos valores en dos nudos o enlaces dados sean diferentes. (Vale la pena señalar que la coincidencia de uno o más invariantes en dos nodos aún no prueba su isomorfismo).

La mayoría de las veces, las invariantes se determinan solo para nudos domesticados (y enlaces), construyéndolos de acuerdo con el diagrama de nudos; comprobar la invariancia en este caso se reduce a comprobar que el objeto construido se conserva bajo las tres transformaciones de Reidemeister .

Algunas invariantes de nudos y enlaces:

Número de componentes conectados
El grupo fundamental del complemento al enlace.
El número de colores tricolores es el número de formas de colorear el diagrama de enlace con tres colores para que cada intersección tenga los tres colores o solo uno.
Polinomio de Alejandro
polinomio de Conway
Polinomio HOMFLY
Polinomio de Jones
Invariantes de Vasiliev (con valores en el espacio de los diagramas de cuerdas ).

El estudio de las invariantes de nudos es parte de un problema más general sobre el anillo de cohomología del espacio de nudos. Invariantes de nudo numérico : clases de cohomología de dimensión 0 Cualquier invariante se describe en términos de un discriminante: a cada componente conectado del conjunto de sus puntos no singulares se le puede asignar su índice igual a la diferencia entre los valores del invariante de dos cierre los nudos separados por esta sección. Para que los índices determinen la invariante del nudo, es necesario que la suma de las secciones (con los coeficientes correspondientes) no tenga límite en el espacio de aplicaciones La teoría de la homología se ocupa del listado de coeficientes permisibles . Los conjuntos de índices se pueden representar mediante una secuencia espectral, que se genera mediante la estratificación del discriminante por los tipos de degeneración de los mapeos correspondientes. Si on está en el dominio Más generalmente, cualquier elemento de un grupo corresponde a una clase de cohomología bidimensional del espacio de nudos. ${\ estilo de visualización M ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización M ^ {3}.}$ $S^{1}\a \mathbb {R} ^{3}.$ $E_{r}^{p,q},$ $r+1$ $\{p,q\,|\,p<0,\,p+q\geq 0\}.$ ${\displaystyle E_{\infty}^{p,q))$ ${\ estilo de visualización (p + q)}$

Podemos considerar espacios de nudos en su totalidad como A medida que crecen los anillos de cohomología (filtrados) de estos espacios , se mantienen las propiedades de estabilización y periodicidad. Cualquier clase de cohomología (de dimensión finita) del espacio de nudos se realiza mediante un índice de enlace con algún ciclo (de dimensión infinita pero codimensión finita) en el discriminante que consiste en aplicaciones suaves o que no son nudos (tienen singularidades, es decir, autointersección ). ${\ matemáticas {R}}^{n}}$ ${\ estilo de visualización n> 3.}$ $norte$ ${\mathcal {D}),$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{n))$ $S^{1}\a \mathbb {R} ^{n},$

Si cualquier sección del discriminante consta de funciones que tienen exactamente un punto de autointersección (en el que los vectores tangentes a dos componentes locales generan un plano bidimensional), entonces debe tener una orientación transversal invariablemente definida en el espacio de todos mapeos suaves (una forma de nombrar uno de los dos componentes adyacentes del espacio de nudo positivo y el otro negativo) [2] . $\mathcal{D}$ $f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{3},$ ${\ estilo de visualización f (S ^ {1})}$ $\mathcal{K}$ $S^{1}\to \mathbb {R}$

Aplicaciones de la teoría de nudos

La importancia de la teoría de nudos para el estudio de variedades tridimensionales está determinada, en primer lugar, por el hecho de que cualquier variedad tridimensional cerrada orientable puede representarse como una esfera envolvente ramificada sobre algún vínculo ( teorema de Alexander ). Además, cada 3-variedad orientable conexa de género 1 (es decir, un espacio de lente) es homeomorfo a una cubierta ramificada de dos hojas de algún enlace con dos puentes, y los enlaces con dos puentes son equivalentes si y solo si sus dos hojas las cubiertas ramificadas son homeomorfas. Este hecho es útil tanto para describir 3-variedades como para clasificar nudos. $S^{3}$

Otra herramienta importante que proporciona la teoría de nudos para el estudio de 3 variedades es el cálculo de enlaces de Kirby enmarcados.

Además de estas y muchas otras aplicaciones de la teoría de nudos en topología, sus aplicaciones también incluyen el estudio de singularidades de curvas algebraicas planas y, en una situación multidimensional, singularidades aisladas de hipersuperficies complejas, estructuras suaves en esferas y la construcción de sistemas dinámicos. y foliaciones. Hay intentos de aplicar la teoría de los nudos en la dinámica simbólica [3] y la teoría matemática de la turbulencia [4] .

Historia de la teoría de nudos

Al parecer, Gauss fue el primero en considerar el nudo como un objeto matemático. Creía que el análisis de los fenómenos de anudamiento y enredo es una de las principales tareas de "geometris situs". El propio Gauss escribió poco sobre nudos y eslabones, pero su alumno Listing dedicó una parte importante de su monografía a los nudos.

A fines del siglo XIX, Tet y K. Little compilaron tablas de nudos simples con no más de 10 intersecciones y tablas de nudos simples alternos con no más de 11 intersecciones.

En 1906 , Tietz fue el primero en utilizar el grupo fundamental para demostrar la no trivialidad de un nudo. En 1927, J. Alexander y L. Briguet, utilizando los coeficientes de torsión de homología de cubiertas cíclicas ramificadas de dos y tres hojas, distinguieron todos los nudos tabulados con 8 cruces y todos los nudos, a excepción de tres pares, con 9 cruces.

En 1928, Alexander propuso un polinomio que lleva su nombre , pero incluso con su ayuda no fue posible verificar la diferencia de los 84 nodos con no más de 9 intersecciones. Este último paso fue dado por Reidemeister , quien consideró los coeficientes de enlace en recubrimientos diédricos ramificados.

Véase también

Notas

↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 28 de junio de 2008. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2008. (indefinido)
↑ V.A. Vasiliev - Topología de complementos a discriminantes. M.: FAZIS, 1997.
↑ Franks JM Anales de Matemáticas. - 1981. - v. 113.-pág. 529-552.
↑ Birman JS, Williams RF Topología. - 1983. - v. 22.-pág. 47-82.

Literatura

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Manturov V. O. Teoría del nudo. - M. : RHD, 2005. - 512 p. — ISBN 5-93972-404-3 . .
Manturov V. O. Conferencias sobre la teoría de los nudos y sus invariantes. — M. : Editorial URSS, 2001. — 204 p. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
Milnor J. Puntos singulares de hipersuperficies complejas / Per. De inglés. — M .: Mir, 1971. — 127 p.
Mandelbaum R. Topología de cuatro dimensiones / Per. De inglés. — M .: Mir, 1981. — 286 p.
Hillman JA Alexander ideales de enlaces B. - Hdlb. — Nueva York, 1981.
Jones, Vaughan F. R. Knot Theory and Statistical Mechanics // Scientific American (edición en ruso). - N° 1. - 1991. - S. 44-50.
Sosinsky, A. B. Nudos y Trenzas . - M. : MTsNMO , 2001. - T. 10. - 24 p. - (Biblioteca "Educación Matemática"). - ISBN 5-900916-76-6 . .
Sosinsky A. B. Nudos. Cronología de una teoría matemática : - M.: MTSNMO, 2005. - 112 p. ISBN 5-94057-220-0
Artículos "Teoría de nudos a finales del siglo XX" // Educación matemática . - Nº 3. - 1999.
Manturov V. O. Excursus a la teoría de los nudos // Revista educativa en red . - 2004. - T. 8 , N º 1 . - S. 122-127 .
Honda K. Métodos tridimensionales en geometría de contacto . (Inglés)
Etnyre JB Legendrian y Nudos Transversales . (Inglés)
Birman JS Trenzas, nudos y estructuras de contacto . (Inglés)
Weisstein, Eric W. Knot Theory (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Teoría de nudos y eslabones
Hiperbólico	Ocho (4 1 ) Tres medias vueltas (5 2 ) Estiba (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Estera Carrick (8 18 ) Pareja de Percos (10 161 ) Encaje (−2,3,7) (12n242) cabeza blanca (52 1) anillos borromeos (63 2) L10a140
satélite	Compuesto ( bebé ) directo suma de nudos
tórico	Trivial (0 1 ) Trébol (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Desvinculado (02 1) salto (22 1) Salomón (42 1)
invariantes	alterno Arfa invariante Número de puentes ( 2 puentes ) Enlace de Brunnian Quiralidad ( Reversible ) Número de películas Número de intersecciones invariante de Vasiliev Volumen hiperbólico homología de Khovanov Género grupo de nodos grupo de engranajes Relación de transmisión Polinomios ( Alexander Soporte Kauffman HOMFLY jones Kaufmann ) Compromiso de encaje Nudo simple ( Lista ) Número de segmentos Número de colorantes tricolores El número y la tarea de desvincular.
Notación y operaciones	Notación de Alexander-Briggs notación de Conway Notación Docker Mutación movimiento Reidemeister Relación de Skene
Otro	el teorema de Alejandro nudo bergé teoría de la trenza Esfera de Conway Finalización de nodo Nudo de doble toro Nudo en capas Cinta Corte suma de nudos Las hipótesis de Tate Retorcido Salvaje Número de giro superficie de Seifert