Campo algebraicamente cerrado

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Un campo algebraicamente cerrado es un campo en el que todo polinomio de grado superior distinto de cero tiene al menos una raíz . ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

Para todo campo existe un único, salvo isomorfismo , su clausura algebraica , es decir, su extensión algebraica , que es algebraicamente cerrada.

Propiedades

En un campo algebraicamente cerrado, todo polinomio de grado n tiene exactamente n (contando la multiplicidad) raíces en . En otras palabras, todo polinomio irreducible en un anillo de polinomios tiene grado 1. Véase también el teorema de Bézout . ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K} [x]}$
Los campos finitos no pueden cerrarse algebraicamente. De hecho, se puede considerar un polinomio de grado finito cuyas raíces son todos los elementos del campo. Si se le suma 1 , entonces el polinomio resultante no tendrá raíces.
El cierre algebraico del campo de los números reales es el campo de los números complejos . Su cierre algebraico está establecido por el teorema fundamental del álgebra .
El cierre algebraico del campo de los números racionales es el campo de los números algebraicos .
El campo de los números aritméticos es algebraicamente cerrado.

Construcción

Una posible construcción de un cierre algebraico para un campo arbitrario fue construida por Emil Artin .

Que se dé el campo . Se requiere construir un cierre algebraico de este campo. ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

Se define como el conjunto de todos los polinomios irreducibles sobre el campo . Cada polinomio está asociado a una variable . Denote por el conjunto de todas esas variables . Formamos un anillo de polinomios . Se puede demostrar que el ideal generado por todos los polinomios de la forma no es único. Entonces podemos pasar al ideal maximal que contiene el ideal (aquí usamos el axioma de elección ) y obtener el campo . Si identificamos los polinomios constantes con los elementos del cuerpo principal, entonces obtenemos . $F\subconjunto \mathbb {K} [x]$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle x_ {f}}$ $X$ $X=\{x_{f}|f\in F\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K} [X]}$ $yo$ ${\ estilo de visualización f (x_ {f})}$ $YO'$ $yo$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subconjunto \mathbb {K_{1}}$

Un campo se puede ver como un campo obtenido sumando al campo una raíz de cada polinomio irreducible. Para unir el resto de las raíces, debes repetir esta construcción. Repítalo para el campo y obtenga el campo . Al repetir esto una vez, puede obtener el campo . Así, tenemos una torre de campos : $\mathbb {K_{1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $norte$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subconjunto \mathbb {K_{1}} \subconjunto \mathbb {K_{2}} \subconjunto \ldots \subconjunto \mathbb {K_{n)) \subconjunto \mathbb {K_{n } +1}} \subconjunto \ldots

La combinación de todos estos campos dará como resultado el campo . El cierre algebraico de este campo es obvio. [una] $\mathbb {K_{\infty))=\bigcup _{n=0}^{\infty}\mathbb {K_{n))$

Véase también

Notas

↑ Leng S. Álgebra. — M.: Mir, 1968.