Atlas (topología)

Atlas : el concepto de geometría diferencial , que le permite introducir estructuras adicionales en la variedad ; por ejemplo, una estructura suave o una estructura compleja.

El atlas consta de mapas individuales que describen áreas individuales de diversidad. Si por diversidad entendemos la superficie de la Tierra, entonces las palabras "mapa" y "atlas" adquieren sus significados habituales.

Definiciones

Sea un campo numérico (por ejemplo , o ), sea un espacio topológico . $k$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ $X$

El mapa es un par donde ${\ estilo de visualización (U, f)}$

tu

es un conjunto abierto en

X

F

es un homeomorfismo de a un conjunto abierto a

tu

K^n

El mapa local ingresa en coordenadas curvilíneas al asociar un punto con un conjunto de números $tu$ ${\ estilo de visualización x = f ^ {-1} (t)}$ ${\ estilo de visualización t = (t ^ {1},..., t ^ {n})}$

Si los dominios de dos aplicaciones y se intersecan ( ), entonces entre los conjuntos y existen aplicaciones mutuamente inversas (homeomorfismos), llamadas funciones de comparación o aplicación de pegado : ${\ estilo de visualización (U_ {1}, f_ {1})}$ ${\ estilo de visualización (U_ {2}, f_ {2})}$ $U_{1}\cap U_{2}\neq\emptyset$ ${\ estilo de visualización f_ {1} (U_ {2})}$ ${\ estilo de visualización f_ {2} (U_ {1})}$ ${\begin{matriz}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matriz}}$

Un atlas es un conjunto de mapas coordinados , tales que forman una cobertura espacial . Aquí hay un conjunto de índices. En este caso, un atlas se denomina suave (de clase ) o analítico si las funciones de cambio de coordenadas para todos los mapas son suaves (de clase ) o analíticas. ${\ estilo de visualización \ {(U_ {\ alfa}, f_ {\ alfa}) \))$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alfa}\}$ $X$ ${\ matemáticas {A}}$ $C^k$ ${\ Displaystyle f _ {\ alfa _ {1} \ alfa _ {2}}}$ $C^k$

Definiciones relacionadas

Se dice que dos atlas lisos (analíticos) son consistentes si su unión es también un atlas liso (analítico).