Establecer cubierta

Una cubierta en matemáticas es una familia de conjuntos tal que su unión contiene un conjunto dado.

Las cubiertas se suelen considerar en topología general , donde las cubiertas abiertas son de mayor interés: familias de conjuntos abiertos . Los recubrimientos por conjuntos convexos juegan un papel importante en la geometría combinatoria [1] .

Definiciones

Sea dado un conjunto . Una familia de conjuntos se llama cubierta si $X$ $C=\{U_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$ $X$

X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

Sea dado un espacio topológico , donde es un conjunto arbitrario, y es una topología definida sobre . Entonces una familia de conjuntos abiertos se llama cubierta abierta de un conjunto si $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T))$ $Y\subconjunto X$

Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

Si es una cubierta de un conjunto , entonces cualquier subconjunto de , que también es una cubierta , se llama subcubierta . $C$ $Y$ $D\subconjunto C$ $Y$
Si cada elemento de una cubierta es un subconjunto de algún elemento de la segunda cubierta, entonces se dice que la primera cubierta está inscrita en la segunda. Más precisamente, una cubierta está inscrita en una cubierta si $D=\{V_{{\beta }}\}_{{\beta \en B}}$ $C=\{U_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$

\forall \beta \in B\;\exists \alpha \in A

tal que

V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.

Un conjunto de cobertura se llama localmente finito si para cada punto existe una vecindad que intersecta solo un número finito de elementos , es decir, el conjunto es finito . $C=\{U_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$ $Y$ $y\en y$ $U\niy$ $C$ $\{\alpha \in A\mid U_{{\alpha }}\cap U\not =\varnada \}$
Una cobertura de un conjunto se llama fundamental si todo conjunto cuya intersección con todo conjunto está abierta en también está abierta en . $C=\{U_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$ $Y$ $U\en C$ $tu$ $Y$
$Y$ se llama compacto si alguna de sus cubiertas abiertas contiene una subcubierta finita;
$Y$ se llama paracompacto si cualquiera de sus cubiertas abiertas se puede inscribir con una cubierta abierta localmente finita .

Cualquier subcubierta se inscribe en la cubierta original. Lo contrario generalmente no es cierto.

↑ Portada del set : artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . A. V. Arkhangelsky, P. S. Soltan