Función de correlación cruzada

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La función de correlación cruzada es un método estándar para estimar el grado de correlación entre dos secuencias. A menudo se utiliza para buscar en una secuencia larga una conocida más corta. Considere dos series f y g. La correlación cruzada está determinada por la fórmula:

(f\star g)_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum_{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j }

donde es el cambio entre secuencias entre sí, y el superíndice en forma de asterisco significa conjugación compleja . En general, para funciones continuas f ( t ) y g ( t ), la correlación cruzada se define como $i$

(f\star g)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(\tau )\ g(t+\tau )\,d\tau ,

Si y son dos números aleatorios independientes con densidades de probabilidad f y g , respectivamente , entonces la correlación cruzada f g corresponde a la distribución de probabilidad de la expresión . Por el contrario, la convolución f g corresponde a la distribución de probabilidad de la suma . $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización \ estrella}$ ${\ estilo de visualización -X+Y}$ ${\ estilo de visualización *}$ ${\ estilo de visualización X+Y}$

Propiedades

La correlación cruzada y la convolución están relacionadas:

f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)

entonces si las funciones f y g son pares, entonces

{\ estilo de visualización (f \ estrella g) = f * g}

También: $(f\estrella g)\estrella (f\estrella g)=(f\estrella f)\estrella (g\estrella g)$

Por analogía con el teorema de convolución , la correlación cruzada satisface

{\mathcal {F}}[f\estrella g]=({\mathcal {F}}[f])^{*}\cdot ({\mathcal {F}}[g])

donde significa la transformada de Fourier . Esta propiedad se usa a menudo junto con los algoritmos de transformada rápida de Fourier para calcular de manera eficiente el valor de correlación cruzada. ${\ matemáticas {F}}$

Se utiliza en el procesamiento de señales, por ejemplo, para reconocer una señal de ubicación ( radar , sonar ) reflejada por un objeto en condiciones de interferencia. También se utiliza para el análisis de procesos estocásticos , como en medición y estadística .

Véase también

Enlaces

función xcorr en MATLAB