Función de autocorrelación

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de mayo de 2021; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

Función de autocorrelación : la dependencia de la relación entre la función (señal) y su copia desplazada en la magnitud del cambio de tiempo.

Para señales deterministas, la función de autocorrelación ( ACF ) de la señal está determinada por la integral : $pie)$

\Psi (\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f^{*}(t-\tau)\mathrm {d} t

y muestra la conexión de la señal (función ) con una copia de sí misma, desplazada por el valor . El asterisco significa conjugación compleja . $\;pie)$ $\tau$

Para procesos aleatorios, el ACF de una función aleatoria tiene la forma [1] : $X(t)$

{\displaystyle K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\))

donde es la esperanza matemática , el asterisco significa conjugación compleja . ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \))$

Si la función original es estrictamente periódica , entonces el gráfico de la función de autocorrelación también tendrá una función estrictamente periódica. Así, a partir de este gráfico, se puede juzgar la periodicidad de la función original y, en consecuencia, sus características de frecuencia. La función de autocorrelación se utiliza para analizar fluctuaciones complejas , por ejemplo, un electroencefalograma humano .

Aplicación en ingeniería

Las propiedades de correlación de las secuencias de código utilizadas en los sistemas de banda ancha dependen del tipo de secuencia de código, su longitud, la frecuencia de sus símbolos y su estructura símbolo por símbolo.

El estudio de la ACF juega un papel importante en la elección de secuencias de código en términos de la menor probabilidad de establecer una sincronización falsa.

Otros usos

La función de autocorrelación juega un papel importante en el modelado matemático y análisis de series de tiempo , mostrando los tiempos característicos para los procesos en estudio (ver, por ejemplo: Turchin P.V. Dinámica histórica. M.: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). En particular, los ciclos en el comportamiento de los sistemas dinámicos corresponden a los máximos de la función de autocorrelación de algún parámetro característico.

Cómputo de velocidad

A menudo es necesario calcular la función de autocorrelación para una serie temporal . El cálculo frontal funciona para . Sin embargo, hay una manera de hacerlo para . $x_{yo}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

El método se basa en el teorema de Khinchin-Kolmogorov (también conocido como Wiener-Khinchin), que establece que la función de autocorrelación de una señal es la transformada de Fourier de su densidad espectral de potencia . Dado que existe un algoritmo de transformada rápida de Fourier para señales discretas para el cálculo de sus espectros , que tiene un orden de complejidad , es posible acelerar el cálculo de la función de autocorrelación calculando el espectro de la señal, luego su potencia (el cuadrado del módulo ) y luego la transformada inversa de Fourier. $O(T\log T)$

La esencia del método es la siguiente. Puede hacer una transformación inversa de datos uno a uno, llamada transformada de Fourier , que los colocará en una correspondencia uno a uno con un conjunto de datos en otro espacio, llamado espacio de frecuencia (el espectro de frecuencia de la señal - -- el conjunto de amplitudes espectrales). En lugar de calcular directamente la función de autocorrelación en nuestros datos iniciales, podemos realizar la operación correspondiente en los datos correspondientes en el espacio de frecuencia del espectro de Fourier, que se realiza en tiempo lineal O (T) - el cálculo de la función de autocorrelación en el espacio frecuencial corresponde al cálculo de las potencias frecuenciales elevando al cuadrado los módulos de las amplitudes espectrales. Después de eso, utilizando las potencias espectrales obtenidas, restauraremos los valores de la función de autocorrelación que les corresponde en el espacio ordinario. El cálculo del espectro a partir de una función y viceversa se realiza mediante la transformada rápida de Fourier , el cálculo de la densidad espectral de potencia en el espacio de frecuencias se realiza en O(T). Así, hemos obtenido una ganancia de tiempo en los cálculos. $O(T\log T)$

Capacitación. Resta la media aritmética de la serie . Vamos a convertir a números complejos . Relleno con ceros a . Luego agregue más ceros al final. $2^k$ $2^k$

Cálculo. La función de autocorrelación se calcula mediante la transformada rápida de Fourier y es directamente proporcional a los primeros elementos de la secuencia $norte$

\Psi(\tau) \sim \nombre del operador{Re} \nombre del operador{fft}^{-1}\left(\left|\nombre del operador{fft}(\vec x)\right|^2\right)

El cuadrado del módulo complejo se toma elemento por elemento: . Si no hay errores de cálculo, la parte imaginaria será cero. El factor de proporcionalidad se determina a partir del requisito . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatorname{Re}^2 a_i + \operatorname{Im}^2 a_i \right\}$ $\psi(0)=1$

Véase también

Notas

↑ Charles Therrien , Murali Tummala. Probabilidad y Procesos Aleatorios para Ingenieros Eléctricos e Informáticos. - Prensa CRC, 2012. - Pág. 287 . Consultado el 8 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 17 de septiembre de 2016. (indefinido)

Enlaces

función xcorr en MATLAB