Hipótesis de Hall

La conjetura de Hall es una hipótesis teórica de números no resuelta para 2015 sobre una estimación superior de las soluciones de la ecuación de Diofanto Mordell para un determinado . Tiene varias formulaciones de diferentes puntos fuertes. Fue formulado por Hall en 1971. ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}+k}$ $k\neq 0$

Redacción y aclaraciones

La redacción original es:

Existe una constante tal que si para y luego . $C>0$ ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}+k}$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2))$

A partir de soluciones específicas de diferentes ecuaciones para diferentes , se pueden obtener cotas inferiores para . El ejemplo más fuerte fue encontrado por Elkis en 1998: $k$ $C$

447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843

De ahí viene la estimación . Esto hace que la hipótesis sea inverosímil en esta formulación, aunque esta formulación no ha sido refutada. ${\ estilo de visualización C> 2171}$

Stark y Trotter en 1980 propusieron una versión debilitada de la conjetura de Hall:

Para cualquier hay una constante tal que si para y , entonces . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon)>0$ ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}+k}$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ $|x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }$

Debido a la inverosimilitud de la versión original de la hipótesis de Hall, ahora la hipótesis de Hall se llama su versión debilitada con . $\epsilon$

Se ha demostrado que el índice 2 en la evaluación no se puede reducir: la hipótesis se vuelve incorrecta para la evaluación de la especie (Danilov, 1982). $|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }$

Teorema de Davenport - Un análogo de la hipótesis de Hall para polinomios

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura de Hall para polinomios:

Si , donde , entonces . $g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)$ $k(t)\neq \mathrm {const},f(t),g(t)\neq 0$ ${\ estilo de visualización \ grado f (t) \ leqslant 2 (\ grado k (t) -1)}$

Este teorema se deriva inmediatamente del teorema de Mason-Stothers , un análogo de la hipótesis ABC para polinomios: Sean polinomios no constantes coprimos por pares tales que , entonces ${\ estilo de visualización a (t), b (t), c (t)}$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.

Aquí está el radical del polinomio , es decir, el producto de sus varios factores primos. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {rad} (f)}$

La sustitución , , da 2 desigualdades: ${\ estilo de visualización c = g ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización a = f ^ {3))$ ${\ estilo de visualización b = k}$

3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1

de donde se deriva el teorema.

Relación con la hipótesis ABC

La hipótesis de Hall se deriva de la hipótesis ABC . De la hipótesis ABC, se sigue inmediatamente otra aún más fuerte, la llamada. Conjetura radical de Hall :

Para cualquier hay una constante tal que si para y , entonces . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon)>0$ ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}+k}$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\text{mcd}}(x,y)=1$ $|x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }$

Aquí está el radical de un número entero . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {rad} (k)}$ $k$

Resulta que la conjetura radical de Hall también implica la hipótesis ABC. Sin embargo, esta afirmación no es trivial. [1] [2]

Una generalización de la conjetura de Hall a otros grados es la conjetura de Pillai .

Notas

↑ Schmidt, Wolfgang M. Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas (indefinidas) . — 2do. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - S. 205-206. — (Apuntes de clase en Matemáticas). — ISBN 3-540-54058-X .
↑ Bombieri, Gubler. Alturas en geometría diofántica (neopr.) . - Cambridge University Press , 2006. - T. 652. - S. 424-435. — ISBN 0-511-14061-4 .

Literatura

Richard K. Guy . Problemas no resueltos de teoría de números (neopr.) . — 3er. - Springer-Verlag , 2004. - P. D9. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Hall, Jr., Marshall. La ecuación diofántica x 3 - y 2 = k // Computadoras en teoría de números (neopr.) / Atkin, AOL; Abedul, BJ. - 1971. - S. 173 -198. — ISBN 0-12-065750-3 .

Enlaces

Una página sobre el problema Archivado el 22 de febrero de 2018 en Wayback Machine por Noam Elkies
Tabla de buenos ejemplos de la conjetura de Marshall Hall por Ismael Jimenez Calvo.