Hipótesis abc

La hipótesis abc (la hipótesis de Esterle-Musser) es una afirmación de la teoría de números formulada de forma independiente por los matemáticos David Masser en 1985 [1] y Joseph Esterle en 1988 [2] .

La demostración de la conjetura abc ha sido durante mucho tiempo uno de los principales problemas sin resolver en la teoría de números, y lo sigue siendo hasta el día de hoy. El estado de este problema se disputa actualmente. Todavía no ha sido posible confirmar o refutar la prueba de Mochizuki obtenida en 2012.

Redacción

Para cualquiera hay una constante , en la que para cualesquiera tres enteros coprimos , y , tal que , la desigualdad $\varepsilon >0$ $K(\varepsilon)$ $a$ $b$ $C$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon)\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\ grande)}^{1+\varepsilon},

donde es el radical del número , es decir, el número igual al producto de los divisores primos del producto . $\nombre del operador {rad}(abc)$ ${\ estilo de visualización abc}$ ${\ estilo de visualización abc}$

Notas

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar solo números naturales ascendentes , y . Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente: $a$ $b$ $C$ $c\leqslant K(\varepsilon)\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
La condición es necesaria. Para cualquier hay un triple de números coprimos tal que . Por ejemplo, un triple de la forma , donde . $\varepsilon >0$ $k$ ${\ estilo de visualización a, b, c = a + b}$ $c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Consecuencias

Conjetura de Beal y último teorema de Fermat

La validez de la hipótesis abc implica la validez de la hipótesis de Beal para grados suficientemente grandes , y de ella la validez del último teorema de Fermat para grados suficientemente grandes [3] . $z$

Prueba de la conjetura de Beal basada en la hipótesis abc

Según la conjetura de Beal, si ( , , , , , son números naturales y ), entonces , , tienen un divisor común. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $X$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Probemos la conjetura de Beale para lo suficientemente grande a partir de lo contrario . Supongamos que hay un número infinito de , para lo cual la conjetura de Beal es falsa. Aplicamos la hipótesis abc , según la cual: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon} }

Aprendamos eso . Es por eso: $\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname {rad}(ABC)\right)^{{1+\varepsilon}}\leqslant K(\varepsilon)\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Como es obvio a partir de las condiciones del teorema que y , entonces . Después: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon)\cdot C^{{3+3\varepsilon}}

Tomando el logaritmo de ambas partes de la desigualdad y dividiendo por , obtenemos un límite superior para el valor de : $\registro C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon)}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

además, la relación debe ser finita, porque, según la condición , , , son naturales (es decir, ) ${\frac {\log K(\varepsilon)}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$

Por lo tanto, es posible encontrar algún valor finito para el cual la desigualdad (*) no se cumple, es decir, la hipótesis abc no es válida aquí, lo que significa que la suposición hecha sobre la invalidez de la hipótesis de Beal para suficientemente grande es errónea . Para la cantidad finita restante , la conjetura de Beal se puede probar numéricamente. $z$ $z$ $z$

Hipótesis de Pillai y Catalán

De la validez de la hipótesis abc se sigue la validez de la hipótesis Pillai , y de ella la validez de la hipótesis catalana .

Prueba de Mochizuki

En agosto de 2012, el respetado matemático japonés Shinichi Mochizuki anunció que había logrado probar la conjetura abc [4] [5] . La demostración que propuso resultó extremadamente difícil incluso desde el punto de vista de los matemáticos especialistas [6] .

Después de publicar la prueba en línea, Mochizuki rechazó todas las ofertas para contarle a la comunidad sus resultados en persona, pero varios matemáticos se encargaron de verificar la prueba con la ayuda de Mochizuki. Publican informes de progreso sobre este trabajo [7] . A partir de finales de 2015, Mochizuki comenzó a comunicarse poco a poco con la comunidad sobre sus resultados [8] . A finales de 2017, hay de 10 a 20 expertos en la teoría creada por Mochizuki [9] en el mundo .

Por lo tanto, la prueba de Shinichi Mochizuki está disponible públicamente, no está refutada, pero aún no se considera verificada en la comunidad científica. Es inusual que una prueba permanezca en este estado indeterminado durante mucho tiempo [9] [10] (a diferencia de los casos en los que se encontró que las pruebas que se consideraban verificadas y correctas tenían errores).

En 2018, Peter Scholze y Jakob Stix, especialistas en campos relacionados con la hipótesis abc y el trabajo de Mochizuki, anunciaron que en el punto clave para probar la hipótesis abc en la teoría de Mochizuki (que durante mucho tiempo ha causado una dificultad particular para los matemáticos que intentan comprender la teoría) hay un error fatal [11] [6] . Mochizuki respondió que Stix y Scholze malinterpretaron algunos aspectos clave de su prueba y, por lo tanto, hicieron simplificaciones inaceptables [12] .

A partir de 2020, la prueba de Mochizuki aún se encuentra en un estado incierto, la comunidad matemática no está convencida de su corrección, a pesar de la aceptación de la prueba para su publicación en la revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, "Publications of the Research Instituto de Ciencias Matemáticas") El Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Kyoto (Japón) es el instituto donde trabaja Mochizuki [13] [14] .

En marzo de 2021, la prueba de Mochizuki se publicó en PRIMS [15] .

Véase también

Notas

↑ DW Masser. Problemas abiertos (inglés) // Actas del simposio sobre teoría analítica de números / WWL Chen. - Londres: Imperial College, 1985. - Vol. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (francés) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - vol. 694 . — pág. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. Una generalización del último teorema de Fermat: la conjetura de Beal y el problema del premio // Avisos de la AMS. - 1985. - vol. 44 , núm. 11 _ - P. 1436-1437 .
↑ Matemático japonés anunció la prueba de la hipótesis ABC , Lenta.ru (11 de septiembre de 2012). Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2012. Consultado el 11 de septiembre de 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (agosto de 2012). Teoría interuniversal de Teichmuller I: Construcción de teatros de Hodge , Teoría interuniversal de Teichmuller II: Evaluación teórica de Hodge-Arakelov , Teoría interuniversal de Teichmuller III : Desdoblamientos canónicos de la celosía Log-theta. , Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations , disponible en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Archivado el 2 de febrero de 2021 en la Máquina de regreso
↑ 12David Michael Roberts . Una crisis de identificación // Inferencia. - 2019. - Vol. 4, núm. 3.
↑ Informe de verificación de IUTeich 2013-12 Archivado el 13 de septiembre de 2014 en Wayback Machine , Informe de verificación de IUTeich 2014-12 Archivado el 22 de enero de 2015 en Wayback Machine
↑ "Japanese Perelman" accedió a explicar el principal secreto de las matemáticas. Copia de archivo fechada el 27 de noviembre de 2015 en Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timoteo Revell . La desconcertante prueba matemática ABC ahora tiene un 'resumen' impenetrable de 300 páginas . Nuevo científico (7 de septiembre de 2017). Consultado el 8 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2017. (indefinido)
↑ Carolina Chen. La paradoja de la prueba (4 de mayo de 2013). Consultado el 6 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 16 de septiembre de 2013. (indefinido) Traducción: Daniil Basmanov. La paradoja de la prueba (17 de junio de 2013). Fecha de acceso: 6 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2016. (indefinido)
↑ Klarreich, Erica . Los titanes de las matemáticas chocan por la prueba épica de la conjetura ABC , Quanta (20 de septiembre de 2018). Archivado desde el original el 14 de marzo de 2021. Consultado el 21 de septiembre de 2018 _ _
↑ Mochizuki, Informe de Shinichi sobre las discusiones, celebradas durante el período del 15 al 20 de marzo de 2018, sobre la teoría interuniversal de Teichmüller . Consultado el 18 de enero de 2019. Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2018. (indefinido)
Mochizuki, Shinichi Comentarios sobre el manuscrito de Scholze-Stix sobre la teoría interuniversal de Teichmüller . Consultado el 18 de enero de 2019. Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2018. (indefinido)
Mochizuki, Shinichi Comentarios sobre el manuscrito (versión 2018-08) de Scholze-Stix sobre la teoría interuniversal de Teichmüller . Consultado el 18 de enero de 2019. Archivado desde el original el 24 de octubre de 2018. (indefinido)
↑ La revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , a pesar de todo, publicará el trabajo del matemático Shinichi Mochizuki con la prueba de la conjetura de Esterle-Musser Copia de archivo fechada el 11 de junio de 2020 en Wayback Machine // Lenta.Ru , 3 de abril de 2020
↑ Nature (Reino Unido): Próximamente se publicará una prueba matemática para sacudir la teoría de los números . Consultado el 12 de abril de 2020. Archivado desde el original el 12 de abril de 2020. (indefinido)
↑ Mochizuki, la prueba de Shinichi Mochizuki de la conjetura ABC . Consultado el 14 de julio de 2021. Archivado desde el original el 3 de mayo de 2021. (indefinido)

Enlaces

Weisstein, Eric W. abc Conjecture (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Conferencias sobre la hipótesis ABC: Conferencia 1 , Conferencia 2 , Conferencia 3 , Conferencia 4 (por Keith Conrad).
R. Borcherds , Charla de matemáticas de pregrado: La conjetura abc en YouTube

Literatura

Ian Stewart . "Los Grandes Problemas Matemáticos". - M. : " No ficción Alpina ", 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .