Conde riba

En la teoría de grafos , el gráfico de Reeb de una función describe la conectividad de las superficies de nivel de esa función . Fue presentado por Georges Ribe [1]

Definición

Considere una función continua definida en una variedad compacta , . La imagen inversa de un punto es una superficie plana de la función . Dos puntos se llaman equivalentes si pertenecen a la misma componente conexa de la superficie de nivel . ${\ estilo de visualización f: M \ a R}$ ${\ estilo de visualización y \ en R}$ $f^{-1}(y)\subconjunto M$ ${\ estilo de visualización x, x' \ en M}$ ${\ estilo de visualización x \! \ sim x'}$ $f^{{-1}}(y)$

El gráfico de Reeb de una función es el espacio cociente de la variedad con respecto a tal relación de equivalencia , . Los vértices del gráfico son los componentes conectados de los niveles críticos de la función. La orientación del gráfico está determinada por la dirección del gradiente de la función . $F$ $METRO$ $G=M/\!\sim$ $GRAMO$ $F$

Propiedades

Las siguientes propiedades del gráfico de Reeb fueron probadas en su trabajo seminal [1] :

Sea una función de Morse f dada en una variedad de dimensiones compactas de clase de suavidad , cuyos puntos críticos corresponden a diferentes valores críticos de la función. El conjunto de tales funciones es abierto y denso en el espacio de todas las funciones. Denote la gráfica de Reeb de esta función. Después: $norte$ $C^{2}$ $\Gama$

Los vértices de grado 1 del gráfico corresponden exactamente a los puntos críticos de la función f de índice 0 y n . $\Gama$
Si , el vértice del gráfico correspondiente al nivel crítico de la función f , que contiene el punto crítico de índice 1 y n-1 , puede tener grado 2 o 3 . $n\geq 3$
Si , los vértices del gráfico correspondientes a puntos críticos de índice 1 pueden tener grado 2 , 3 o 4 . ${\ estilo de visualización n \, = 2}$
El grado de un vértice de un gráfico correspondiente a un nivel crítico de una función f que contiene un punto crítico de índice distinto de 0 , 1 , n-1 y n es siempre 2 .

Estas propiedades del gráfico implican una propiedad curiosa de las funciones de Morse, demostrada en el mismo lugar [1] :

Denotar por el conjunto de puntos críticos las funciones de índice k y nk . Si , entonces . ${\ Displaystyle \ Omega _ {k}}$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Aplicación

Los gráficos de Reeb se usan en matemáticas cuando se estudia

clasificación topológica de las funciones de Morse [2]
Sistemas hamiltonianos [3]

Los gráficos de Reeb, y en particular los gráficos de Reeb acíclicos llamados árboles de contorno , encuentran un amplio uso en aplicaciones informáticas:

en diseño por ordenador y modelado geométrico,
en modelos geométricos de estructura de datos y métodos de búsqueda en bases de datos
en sistemas de automatización de trabajos de diseño .

Notas

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS París 222, 1946, págs. 847-849. [1] Archivado el 9 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Sharko V.V. Equivalencia suave y topológica de funciones en superficies. // Revista matemática ucraniana. 2003. V. 55. Nº 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Introducción a la topología de los sistemas hamiltonianos integrables, Nauka, M., 1997.