Campo escalar

Un campo escalar (función escalar) sobre algún espacio de dimensión finita es una función que asocia cada punto de alguna región de este espacio (dominio) con un escalar , es decir, un número real o complejo . Con una base espacial fija , un campo escalar se puede representar como una función de varias variables que son las coordenadas de un punto.

La diferencia entre una función numérica de varias variables y un campo escalar es que en una base diferente, el campo escalar como función de coordenadas cambia de tal manera que si el nuevo conjunto de argumentos representa el mismo punto en el espacio en la nueva base, entonces el el valor de la función escalar no cambia.

Por ejemplo, si en alguna base ortonormal de un espacio vectorial bidimensional una función escalar tiene la forma entonces en otra base girada 45 grados a esta, la misma función en nuevas coordenadas tendrá la forma .

La mayoría de las veces, las funciones escalares se consideran continuas o diferenciables (suaves) un número suficiente de veces (es decir, la función debe pertenecer a ).

Las aplicaciones incluyen principalmente:

• Función de tres variables: (campo escalar en (en) espacio tridimensional, a veces llamado [1] campo espacial).
• Función de dos variables: (un campo escalar en (en) un espacio bidimensional, a veces llamado [1] un campo plano).

Ejemplos

Ejemplos de campos escalares en el espacio 3D:

• temperatura (se entiende que, en términos generales, es diferente en diferentes puntos del espacio);
• potencial electrostático ;
• potencial en la teoría newtoniana de la gravedad ;
• campo de presión en un medio líquido.

Ejemplos de campos escalares planos (bidimensionales):

• la profundidad del mar, marcada de alguna manera en un mapa plano;
• densidad de carga en una superficie conductora plana.

Por lo general, un campo escalar se entiende como un campo que es invariante bajo transformaciones de coordenadas (a veces, y con frecuencia, bajo cierta clase de transformaciones de coordenadas, por ejemplo, bajo transformaciones que conservan el volumen, transformaciones ortogonales, etc.; pero no menos raramente es significaba la invariancia de un campo escalar bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas, limitadas, quizás, solo por la suavidad). (Ver escalar ).

En este sentido, no toda función de coordenadas de valor real es un campo escalar. El ejemplo más sencillo: en este sentido, uno de los componentes de coordenadas del campo vectorial no es un campo escalar , ya que al cambiar la elección de coordenadas (por ejemplo, al rotar los ejes de coordenadas), no permanecerá invariable (es decir, no es un invariante de las transformaciones de coordenadas).

Campos escalares en física

En física y muchas otras aplicaciones, el campo, en términos generales, también depende del tiempo [2] :

mientras que las operaciones sobre el campo (como gradiente ) todavía se utilizan en 3 dimensiones, es decir, a pesar de la adición de una variable independiente más, en esencia, el campo se considera como un campo en un espacio de dimensión 3, y no 4. Las mismas consideraciones se refieren a los casos en que el campo depende, además de las coordenadas espaciales, de algunos otros parámetros: estos parámetros pueden indicarse explícitamente en la dependencia funcional, que, sin embargo, no cambia la dimensión del espacio principal en el que se considera el campo. .

En la física teórica moderna, se acostumbra considerar explícitamente el tiempo como una coordenada formalmente igual a tres espaciales [3] , y la totalidad del espacio y el tiempo se considera explícitamente como un solo espacio de cuatro dimensiones (llamado espacio-tiempo ). Por lo tanto, al hablar de un campo escalar en la física teórica moderna, por defecto se refieren a un campo en un espacio o variedad de cuatro dimensiones , es decir, una función que depende de cuatro coordenadas formalmente iguales:

(una de estas cuatro coordenadas es igual o proporcional al tiempo); además, en este caso, si se usa el término campo escalar , también se da a entender que es invariante de Lorentz . Todas las operaciones de campo (como el gradiente) se utilizan en su forma 4D.

En la física teórica moderna , un campo escalar generalmente se entiende (cuando se trata de campos fundamentales) como un campo fundamental de un espacio escalar de Minkowski ( un campo invariante de Lorentz ) o un campo que es invariante bajo transformaciones generales de coordenadas (generalmente la primera y la primera). segundo prácticamente coinciden).

Sinónimos prácticos para el término campo escalar en este sentido son los términos campo espín cero , espín cero partícula , partícula escalar (estas últimas, sin embargo diluyendo un poco estos conceptos cercanos, también se denominan excitaciones de un campo escalar).

La única partícula escalar descubierta experimentalmente es el bosón de Higgs .

Los campos escalares juegan un papel importante en las construcciones teóricas. Su presencia (junto con los campos vectoriales y tensoriales entendidos en el mismo sentido y observados en la realidad) es necesaria para la completitud de la clasificación de los campos fundamentales.

En las nuevas teorías físicas (como, por ejemplo, la teoría de cuerdas ) a menudo tratan con espacios y variedades de diferentes dimensiones, incluidas bastante altas (más de cuatro), y campos, incluidos campos escalares, en dichos espacios.

Superficie de nivel

Un campo escalar se puede representar gráficamente utilizando superficies de nivel (también llamadas isosuperficies).

La superficie de nivel de un campo escalar es el conjunto de puntos en el espacio en los que la función u toma el mismo valor c , es decir, la superficie de nivel está determinada por la ecuación . La imagen de un conjunto de superficies de nivel para diferentes da una representación visual del campo escalar específico para el cual se construyen (representan) [4] , además, la representación de superficies de nivel proporciona una cierta herramienta geométrica adicional para trabajar con un campo escalar que se puede utilizar para cálculos, demostraciones de teoremas, etc. Ejemplo: superficie equipotencial .

Para un campo en un espacio bidimensional, el análogo de la superficie de nivel es la línea de nivel . Ejemplos: isóbata , isoterma , isohipsa (línea de igual altura) en un mapa geográfico y otras isolíneas .

Las superficies de nivel para un campo escalar en un espacio de mayor dimensión son hipersuperficies con una dimensión menor que la del espacio.

Gradiente

La dirección del aumento más rápido del campo se indica mediante el vector de gradiente , denotado de la manera estándar:

u otra notación:

con componentes:

Aquí hay una fórmula para el caso tridimensional, se puede generalizar a otras dimensiones directa y trivialmente.

• Si las coordenadas no son cartesianas (la base no es ortonormal), es fundamental tener en cuenta que las componentes del gradiente anterior son covariantes, es decir, el gradiente de un campo escalar es un campo covector. Para bases ortónomas esto no es imprescindible, ya que para ellas pueden considerarse iguales los conceptos de vector y covector, así como coordenadas covariantes y contravariantes.

El valor absoluto del vector gradiente u es la derivada de u en la dirección de crecimiento más rápido (la tasa de crecimiento de u cuando se mueve a la unidad de velocidad en esta dirección).

El gradiente siempre es perpendicular a las superficies de nivel (en el caso 2D, a las líneas de nivel). La excepción son los puntos singulares del campo, donde el gradiente es igual a cero.

Notas

1. ↑ 1 2 Flatfield - Diccionario meteorológico . Fecha de acceso: 17 de mayo de 2012. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2014. (indefinido)
2. ↑ Para evitar confusiones en esta sección, solo hablaremos sobre el campo en el espacio tridimensional.
3. ↑ Hay razones bastante serias para esto, que se reducen al hecho de que en física no solo es posible hacer transformaciones formales (las llamadas transformaciones de Lorentz , que pueden caracterizarse como rotaciones espacio-temporales), mezclando coordenadas espaciales con tiempo, pero resulta que ningún experimento físico y observación, hasta donde sabemos hoy, no puede revelar las diferencias entre las ecuaciones de la física escritas en uno u otro de los dos sistemas de coordenadas espacio-temporales rotados de manera relativa entre sí.
4. ↑ La "imagen" de tales superficies, por supuesto, es generalmente tridimensional (las superficies mismas son bidimensionales, pero generalmente hablando no son planas y están ubicadas en un espacio tridimensional), pero puede, en casos simples, ser fácilmente imaginado[ ¿Qué? ] , así como de alguna manera construir una o más proyecciones 2D o secciones de dicha imagen 3D.

Literatura

• Borisenko AI, Tarapov IE Análisis vectorial y principios del cálculo tensorial.  (enlace no disponible) 3ª ed. Moscú: Escuela superior, 1966.
• Goldfain IA Análisis vectorial y teoría de campos. Moscú: Nauka, 1968.
• Kochin N. E. Cálculo vectorial y los comienzos del cálculo tensorial. 9ª ed. Moscú: Nauka, 1965.

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