Grupo Heisenberg

El grupo de Heisenberg es un grupo formado por matrices cuadradas de la forma

{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},

donde los elementos a , b , c pertenecen a algún anillo conmutativo con unidad. Como tal, un anillo R se toma con mayor frecuencia:

anillo de números reales - el llamado grupo continuo de Heisenberg, denotado por , o $R={\matemáticas {R}}$ $H_{3}({\matemáticas {R}})$
anillo de enteros - el llamado grupo discreto de Heisenberg, denotado por , o $R=\matemáticas{Z}$ $H_{3}({\matemáticas {Z}})$
anillo residual con número primo p — el grupo se denota por . $R={\mathbb{Z}}_{p}$ $H_{3}({\matemáticas {Z}}_{p})$

Nombrado en honor a Werner Heisenberg , quien usó el grupo en mecánica cuántica: El grupo continuo de Heisenberg se usa para describir sistemas mecánicos cuánticos unidimensionales.

Variaciones y generalizaciones

El grupo de Heisenberg generaliza a cualquier número de dimensiones. Es decir, el grupo de Heisenberg consiste en matrices cuadradas de orden n + 2 : $H_{{n+2}},\n\geq 1,$

{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&1&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&1&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&1\\\end{pmatrix}},

los elementos pertenecen a algún anillo conmutativo con identidad. ${\ estilo de visualización a_ {i}, b_ {i}, c}$

El grupo continuo de Heisenberg es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo (con la topología generada por la topología estándar ) cuya álgebra de Lie (de dimensión 2n+1 ) consiste en matrices de la forma $H_{{n+2}}({\matemáticas {R}})$ $\matemáticas {R}$

{\begin{pmatrix}0&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&0&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&0&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&0\\\end{pmatrix}}.

Notas

Kirillov A.A. Elements of Representation Theory, Moscú: Nauka, 1978. Archivado el 27 de julio de 2014 en Wayback Machine .
Cápsulas Ernst Binz & Sonja . Geometría de los grupos de Heisenberg, - American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3 .
Roger Evans Howe . Sobre el papel del grupo de Heisenberg en el análisis armónico, Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
A. A. Kirilov . Conferencias sobre el método de la órbita (Capítulo 2: Representaciones y órbitas del grupo de Heisenberg), - American Mathematical Society, 2004.