Grupo (matemáticas)

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Un grupo en matemáticas es un conjunto no vacío sobre el que se define una operación binaria asociativa , y para esta operación existe un elemento neutro (análogo a la unidad para la multiplicación), y cada elemento del conjunto tiene una inversa . La rama del álgebra general que se ocupa de los grupos se denomina teoría de grupos [1] .

Un ejemplo de un grupo es el conjunto de números enteros , equipado con la operación de suma : la suma de dos números enteros también da un número entero, el cero juega el papel de un elemento neutral y un número con el signo opuesto es el elemento inverso. Otros ejemplos son el conjunto de números reales con la operación de suma, el conjunto de rotaciones del plano alrededor del origen . Gracias a la definición abstracta de un grupo a través de un sistema de axiomas que no está ligado a las especificidades de los conjuntos generadores, la teoría de grupos ha creado un aparato universal para estudiar una amplia clase de objetos matemáticos del más diverso origen desde el punto de vista de la las propiedades generales de su estructura . La ubicuidad de los grupos en matemáticas y más allá los convierte en una construcción esencial en las matemáticas modernas y sus aplicaciones.

El grupo está relacionado fundamentalmente con el concepto de simetría y es una herramienta importante en el estudio de todas sus manifestaciones. Por ejemplo, un grupo de simetría refleja las propiedades de un objeto geométrico : consiste en un conjunto de transformaciones que dejan el objeto sin cambios, y la operación de combinar dos de esas transformaciones que se suceden una tras otra. Los grupos de simetría, como los grupos de simetría puntual, son útiles para comprender el fenómeno de la simetría molecular en química; el grupo de Poincaré caracteriza la simetría del espacio-tiempo físico , y los grupos unitarios especiales se utilizan en el modelo estándar de la física de partículas elementales [2] .

El concepto de grupo fue introducido por Evariste Galois mientras estudiaba polinomios en la década de 1830 [3] .

La teoría de grupos moderna es una rama activa de las matemáticas [4] . Uno de los resultados más impresionantes se logró en la clasificación de grupos finitos simples , que se completó en 1981 : la prueba del teorema son decenas de miles de páginas de cientos de artículos científicos de más de cien autores publicados desde 1955, pero los artículos siguen apareciendo debido a lagunas detectables en la prueba [5 ] . Desde mediados de la década de 1980, la teoría geométrica de grupos , que estudia los grupos generados finitamente como objetos geométricos, ha recibido un desarrollo significativo.

Definición

Un conjunto no vacío con una operación binaria definida en él : se llama grupo si se cumplen los siguientes axiomas : $GRAMO$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {G}, *)}$

asociatividad : ; ${\ estilo de visualización \ para todos (a, b, c \ en G) \ dos puntos (a * b) * c = a * (b * c)}$
la presencia de un elemento neutro : ; $\existe e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
la presencia de un elemento inverso : . $\forall a\in G\quad \existe a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Los dos últimos axiomas pueden ser reemplazados por un axioma de la existencia de una operación inversa $*$ :

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Además, los axiomas anteriores no son estrictamente mínimos. Para la existencia de un elemento neutro e inverso , es suficiente tener un elemento neutro a la izquierda y un elemento inverso a la izquierda . Al mismo tiempo, se puede probar que automáticamente serán elementos ordinarios neutros e inversos [6] .

Definiciones relacionadas

En general, el grupo no está obligado a cumplir la propiedad de conmutatividad .
- Los pares de elementos para los que se cumple la igualdad se denominan desplazamiento o desplazamiento . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- El conjunto de elementos que permutan con todos los elementos del grupo se denomina centro del grupo .
- Un grupo en el que dos elementos cualesquiera conmutan se llama conmutativo o abeliano .
Un subgrupo es un subconjuntodel grupoque es un grupo con respecto a la operación definida en. $H$ $GRAMO$ $GRAMO$
El orden del grupo es la potencia (es decir, el número de sus elementos). $(GRAMO*)$ $GRAMO$
- Si el conjunto es finito, se dice que el grupo es
finito . $GRAMO$

Los homomorfismos de grupo son mapeos de grupos que conservan la estructura del grupo. Es decir, un mapeo de grupos se llama homomorfismo si satisface la condición .

f\dos puntos (G,*)\to (H,\times)

f(a*b)=f(a)\veces f(b)

Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un homomorfismo de grupo y un homomorfismo de grupo tal que y , donde y . En este caso, estos homomorfismos se denominan isomorfismos .

f\dos puntos (G,*)\to (H,\times)

g\colon (H,\times)\to (G,*)

f(g(a)) = un

g(f(b))=b

b \ en G

a \ en H

Para un elemento, la clase lateral izquierda por subgrupo es el conjunto y la clase lateral derecha por subgrupo es el conjunto .

g\in g

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

Un subgrupo normal es un subgrupo de un tipo especial cuyas clases laterales izquierda y derecha coinciden. Para cualquier,.

g\in g

gH=Hg

Un grupo cociente es un conjunto de clases laterales de un grupo con respecto a su subgrupo normal, que es en sí mismo un grupo.

Notación estándar

Notación multiplicativa

Por lo general, la operación de grupo se llama multiplicación (abstracta) ; luego se aplica la notación multiplicativa :

el resultado de la operación se llama producto y se escribe o ; $a\cdot b$ ${\ estilo de visualización ab}$
el elemento neutro se denota por " " o y se llama unidad ; ${\ estilo de visualización 1}$ ${\ estilo de visualización e}$
el inverso del elemento se escribe como . ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización a^{-1}}$

Si la operación de grupo se llama multiplicación , entonces dicho grupo en sí mismo se llama multiplicativo y, con la notación completa (cuando quieren indicar explícitamente la operación de grupo), se denotan de la siguiente manera :. ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$ ${\ estilo de visualización (\ mathrm {G}, \ cdot)}$

Los productos múltiples , , se escriben como potencias naturales , , [7] . Para un elemento , se define correctamente un grado entero [ 8] , se escribe de la siguiente manera: , . ${\ estilo de visualización aa}$ ${\ estilo de visualización aaa}$ $...$ $un ^ 2$ ${\ estilo de visualización a^{3}}$ $...$ $a$ $a^{0}=e$ ${\ estilo de visualización a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Notación aditiva

En un grupo conmutativo, la operación de definición a menudo se ve como una suma (abstracta) y se escribe de forma aditiva :

escriba " " y llame al elemento resultante la suma de los elementos y ; ${\ estilo de visualización a + b}$ ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización b}$
el elemento neutro se denota como " " y se le llama cero ; ${\ estilo de visualización 0}$
el elemento inverso a se denota como " " y se llama su opuesto al elemento; ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización -a}$ ${\ estilo de visualización a}$
la entrada se abrevia de la siguiente manera: ; ${\ estilo de visualización a+(-b)=ab}$
las expresiones de la forma , , se denotan con los símbolos , , . ${\ estilo de visualización a + a}$ ${\ estilo de visualización a+a+a}$ ${\ estilo de visualización -aa}$ $2a$ ${\ estilo de visualización 3a}$ ${\ estilo de visualización -2a}$

Si la operación de grupo se llama suma , entonces dicho grupo en sí mismo se llama aditivo y, con la notación completa, se denota de la siguiente manera :. [9] Este término se refiere únicamente a la forma en que se escribe una operación en un grupo; es útil cuando se definen varias operaciones en un conjunto. Por ejemplo, se puede hablar del grupo aditivo de los números reales o del grupo multiplicativo de los números reales positivos . Además, hay casos en los que un grupo aditivo es isomorfo a uno multiplicativo (ver Raíces a partir de la unidad ). ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$ ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {G}, +)}$

Ejemplos

El conjunto de números enteros equipados con la operación de suma es un grupo.
El conjunto de todos los números racionales excepto el cero, con la operación de multiplicación, es un grupo.

Los grupos se utilizan en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en topología , introduciendo el concepto de grupo fundamental [10] . Además de la aplicación teórica de los grupos, hay muchas formas de aplicarlos en la práctica. Por ejemplo, se utilizan en criptografía , que se basa en la teoría de grupos computacionales y el conocimiento de algoritmos .

La aplicación de la teoría de grupos no se limita a las matemáticas, se usa ampliamente en ciencias como la física , la química y la informática .

Módulo de enteros : el resultado de la suma de módulo es $norte$ el resto de la suma cuando se divide por . El conjunto de enteros de a forma un grupo con esta operación. El elemento neutro es , el elemento inverso de k es el número . Un buen ejemplo de un grupo así. $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización 0}$ $n-1$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización a \ neq 0}$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

puede haber un reloj con una esfera [11] .

Números enteros con operación de suma. es un grupo conmutativo con un elemento neutro. Los enteros con una operación de multiplicación no formarán un grupo. Se producirá el cierre, la asociatividad y la existencia de un elemento neutro, pero no se cumplirá el axioma sobre la existencia de un elemento inverso. Por ejemplo,, entonceseso es. El elemento inverso no es un número entero [12] . $(\matemáticas{Z},+)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $un=2$ $a\cdot b=1$ $segundo = 1/2$
Números racionales positivos con operación de multiplicación. El producto de los números racionales vuelve a ser un número racional, el elemento recíproco a un número racional está representado por un recíproco, hay asociatividad, y el elemento neutro es uno [12] .
Un grupo libre con dos generadores () está formado por la palabra vacía (unidad de grupo) y todas las palabras finitas de cuatro caracteres,,ylas queno aparecen junto ayno aparecen junto a. La operación de multiplicar tales palabras es simplemente una combinación de dos palabras en una seguida por la reducción de lospares,y [13] . $F_{2}$ ${\ estilo de visualización a}$ $un^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ ${\ estilo de visualización a}$ $un^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $segundo^{{-1}}segundo$
grupo simétrico . El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto finito en sí mismo con la operación de composición es un grupo finito, que se denomina grupo simétrico o grupo de permutación . La cardinalidad de un grupo simétrico finitopara un conjunto deelementos es. Pueseste grupo no es abeliano [14] . Cualquier grupo finito es un subgrupo de algún grupo simétrico ( teorema de Cayley ) [12] [15] . $S_{n}$ $norte$ $¡norte!$ $n\geq 3$

Los grupos cíclicos se componen de potencias deun elemento. Un elementose llama generador de un grupo cíclico. Los grupos cíclicos son siempre conmutativos. Un ejemplo de tal grupo son los enteros de suma ya mencionados. Cíclico será un grupo formado por raíces complejas de la unidad , es decir, un grupo de números complejos que satisfacen la condicióny la operación de multiplicar números complejos [16] . Un grupo finito multiplicativotambién es cíclico. Por ejemplo,es un elemento generador del grupocuando: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización a}$ $norte$ $z$ ${\ estilo de visualización z ^ {n} = 1}$ ${\ estilo de visualización (\ mathrm {G}, \ cdot)}$ $3$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{alinear}

El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo del grupo simétricocuyos elementos corresponden a transformaciones del cubo de Rubik . La composición de dos transformaciones es nuevamente una transformación, para cada transformación hay un elemento inverso, hay una asociatividad y un elemento neutro [17] . $S_{{48}}$
grupos de Galois . Fueron introducidos a las matemáticas para resolver ecuaciones polinomiales en una variable en radicales . Por ejemplo, la solución de una ecuación cuadrática da raíces:fórmulas similares para ecuaciones de tercer y cuarto grado, pero no existen para ecuaciones de gradoy superiores [18] . $hacha^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

Las propiedades más simples

Para cada elemento, el elemento inverso es único. $a$ $un^{{-1}}$
El elemento neutro es único: Si son neutrales, entonces . ${\ Displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
${\ estilo de visualización (a^{-1})^{-1}=a}$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , para cualquier [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Las leyes de reducción son correctas : $c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .
El elemento inverso al neutro es el propio elemento neutro [19] .
El grupo contiene una solución única a cualquier ecuación o ; es decir, en un grupo, son posibles "divisiones" derecha e izquierda definidas de forma única [1] . ${\ estilo de visualización x}$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
La intersección de dos subgrupos de un grupo es un subgrupo del grupo [20] . ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$
Teorema de Lagrange : si es un grupo de orden finito , entonces el orden de cualquiera de sus subgrupos es divisor del orden del grupo. De esto se sigue que el orden de cualquier elemento también divide el orden del grupo [21] . ${\ estilo de visualización \ mathrm {G}}$ ${\ estilo de visualización g}$ ${\ Displaystyle g_ {1}}$ $\mathrm {G_{1}}$
El teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow se utilizan para determinar el número de subgrupos en un grupo .

Formas de configurar un grupo

El grupo se puede configurar:

Con la ayuda de un grupo electrógeno [22] y un conjunto de relaciones entre sus elementos;
Factor group , donde es algún grupo y es su subgrupo normal [23] ; ${\ estilo de visualización G/H}$ ${\ estilo de visualización G}$ ${\ estilo de visualización H}$
El producto semidirecto de dos grupos y, en particular,
- Un producto directo de dos grupos y , es decir, un conjunto de pares dotados de la operación de multiplicación por componentes: [24] ; ${\ estilo de visualización (G, \ cdot)}$ ${\ estilo de visualización (H, \ cdot)}$ $G\veces H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Un producto libre de dos grupos: un producto libre de grupos es un grupo cuyo sistema de generadores [25] es la unión de los sistemas de generadores y , y el sistema de relaciones [26] es la unión de los sistemas de relaciones y [ 27] . ${\ estilo de visualización G}$ $H$ $GRAMO$ $H$ $GRAMO$ $H$

Historia

El concepto moderno de grupo se formó a partir de varias áreas de las matemáticas. La fuerza impulsora original detrás de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones para ecuaciones algebraicas de grado mayor que cuatro. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , después de refinar los estudios de Ruffini y Lagrange , dio un criterio para la resolución de una ecuación algebraica particular en términos del grupo de simetría de sus soluciones. Los elementos de tal grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces . Las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y publicadas póstumamente por Liouville en 1846. Basado en el mismo trabajo que Galois, Cauchy estudió en detalle los grupos de permutación [3] . El concepto de grupo finito fue introducido por primera vez por Arthur Cayley en 1854 en su obra " Sobre la teoría de los grupos, en función de la ecuación simbólica θ n 1 " ) [28] . $=$

La geometría es la segunda área donde los grupos se han aplicado sistemáticamente, especialmente los grupos de simetría como parte del " Programa Erlangen " del matemático alemán Felix Klein . Después de la aparición de nuevas ramas de la geometría, como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para reconciliarlas mejor. Un mayor desarrollo de estas ideas conduce a la introducción del concepto de grupo de Lie en las matemáticas en 1884 [3] .

La tercera área de las matemáticas que contribuyó al desarrollo de la teoría de grupos es la teoría de números . Algunos grupos abelianos se utilizaron implícitamente en las Investigaciones aritméticas de Gauss (1801). En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat utilizando grupos que describen factorizaciones primas. En 1870, Kronecker generalizó el trabajo de Kummer y dio una definición cercana a la definición moderna de un grupo abeliano finito [3] .

La separación de la teoría de grupos comenzó con el Tratado sobre cambios y ecuaciones algebraicas de Camille Jordan (1870) [29] . En el siglo XX, la teoría de grupos comenzó a desarrollarse activamente. Nacieron el trabajo pionero de Frobenius y Burnside sobre la representación de grupos finitos , la teoría de la representación modular de Richard Braur y las notaciones de Schur . Weyl y Cartan lograron avances significativos en el estudio de la teoría de los grupos de Lie y de los grupos localmente compactos . Además de estas teorías algebraicas, se encontraba la teoría de los grupos algebraicos , formulada por primera vez por Claude Chevalley , mencionada posteriormente en las obras de Borel y Tits [3] .

En el año académico 1960-1961, la Universidad de Chicago celebró un año de teoría de grupos que reunió a teóricos como Daniel Gorenstein, John Thompson y Walter Feith, sentando así las bases para la colaboración de un gran número de matemáticos que posteriormente derivaron el teorema de clasificación para todos los grupos finitos simples en 1980. -s años. Este proyecto superó en tamaño a todos los intentos anteriores de clasificar los grupos, tanto en términos de extensión de la evidencia como de número de científicos involucrados en este trabajo. La investigación actual tiene como objetivo simplificar la clasificación de los grupos. En la actualidad, la teoría de grupos continúa desarrollándose activamente e influenciando otras ramas de las matemáticas [5] [30] [31] .

Variaciones y generalizaciones

Un grupoide es un conjunto con una operación binaria definida en él [32] .
Un cuasigrupo es un grupoide que consta de algún conjunto y una operación binaria tal que para cualquiera hay elementos únicos y tal que y [33] . ${\ estilo de visualización Q}$ ${\ estilo de visualización \ cdot}$ ${\ estilo de visualización a, b \ en Q}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización y}$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
Un semigrupo es un sistema algebraico con una operación binaria asociativa definida en él . El conjunto de los números naturales con la operación de suma forma un semigrupo [34] .
Un conjunto con una operación binaria definida que satisface solo los dos primeros axiomas se llama monoide . El conjunto de enteros no negativos con operación de suma forman un monoide [34] . $GRAMO$

Grupos con estructura adicional

Muchos grupos tienen simultáneamente alguna otra estructura matemática (adicional). En el lenguaje de la teoría de categorías, estos son objetos de grupo en la categoría ; en otras palabras, se trata de objetos (es decir, por ejemplo, conjuntos que tienen una determinada estructura matemática) para los que se da una clase de determinadas transformaciones (llamadas morfismos ), siguiendo los axiomas del grupo. En particular, todo grupo (en el sentido definido anteriormente) es simultáneamente un conjunto , de modo que un grupo es un objeto de grupo en la categoría de conjuntos Conjunto (los morfismos en esta categoría son aplicaciones de conjuntos) [35] .

Anillos

Un anillo es un conjunto sobre el que se definen las operaciones binarias de suma conmutativa y multiplicación (no necesariamente conmutativa), además, con respecto a la suma, K forma un grupo, y la multiplicación está conectada con la suma por una ley distributiva . ${\ estilo de visualización K}$

Un anillo se llama conmutativo y asociativo si la operación de multiplicación dada en él es conmutativa y, en consecuencia, asociativa. Un elemento de un anillo se llama unidad si se cumple la siguiente condición: , donde es cualquier elemento del anillo. ${\ estilo de visualización 1}$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ ${\ estilo de visualización a}$

Los conjuntos numéricos Z , Q , R son anillos asociativos conmutativos con identidad. El conjunto de vectores con la operación de multiplicación vectorial es un anillo anticonmutativo (ie ) debido a las propiedades de la multiplicación vectorial [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Campos

Un campo es un anillo asociativo conmutativo con una unidad, y con respecto a la suma forma un grupo, y sus elementos distintos de cero son un grupo por multiplicación. El campo no puede constar de un solo cero. Los conjuntos de números racionales y reales son campos. En cualquier campo solo si y/o [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ ${\ estilo de visualización a = 0}$ ${\ estilo de visualización b = 0}$

Grupos topológicos

Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una estructura de grupo al mismo tiempo. En este caso, dicho espacio puede resultar ser un grupo topológico .

Es decir, un grupo topológico es un grupo que es simultáneamente un espacio topológico , y la multiplicación de los elementos del grupo y la operación de tomar el elemento inverso resultan ser aplicaciones continuas en la topología utilizada [38] . Los grupos topológicos son objetos de grupo en espacios topológicos Arriba [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

Los ejemplos más importantes de grupos topológicos son el grupo aditivo de reales , el grupo multiplicativo de reales distintos de cero , el grupo lineal completo , el grupo lineal especial , el grupo ortogonal , el grupo ortogonal especial , el grupo unitario , el grupo unitario especial [39 ] . ${\ estilo de visualización (\ mathbb {R},+)}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbb {R^{*}}, \ cdot)}$ $GL(n)$ $SL(n)$ $En)$ ${\ estilo de visualización SO (n)}$ $Naciones Unidas)$ $Sol)$

Grupos de mentiras

Un grupo de Lie (en honor a Sophus Lie ) es un grupo que es simultáneamente una variedad diferenciable sobre el campo K (el campo de los números reales o complejos puede actuar como este último), y la multiplicación de los elementos del grupo y la operación de tomar el elemento inverso resultan ser mapeos suaves (en el caso complejo, se requiere holomorfismo de los mapeos introducidos). Además, cualquier grupo de Lie de dimensión compleja es simultáneamente un grupo de dimensión de Lie real [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2n}$

Todos los grupos concretos dados en el apartado anterior como ejemplos de grupos topológicos son al mismo tiempo grupos de Lie.

Los grupos de mentira surgen naturalmente cuando se consideran simetrías continuas ; así, el grupo de Lie está formado [41] por isometrías de la forma , donde es el espacio euclidiano de puntos . El grupo resultante, denotado [42] , es un subgrupo de otro grupo de Lie, el grupo afín del espacio , denotado [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {E}}$ $es(\mathrm {E} )$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {E}}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Los grupos de mentira son los mejores de los múltiples en términos de la riqueza de la estructura que tienen y, como tales, son muy importantes en la geometría diferencial y la topología . También juegan un papel destacado en geometría, cálculo, mecánica y física [40] .

Véase también

Notas

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↑ El grado natural de un elemento se determina correctamente debido a la asociatividad
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teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier

diccionarios y enciclopedias	gran noruego Britannica (en línea) Brockhaus universalis universalis
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4022379-6