Doble fila

Una serie doble es una sucesión numérica, cuyos elementos están numerados por pares de enteros positivos (índices), considerados junto con otra sucesión, que se denomina sucesión de sumas parciales de una serie [1] .

Definición

Sea una secuencia numérica ; considerar, junto con la sucesión dada, la sucesión de sumas parciales de la serie ${\displaystyle \{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty))$

\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty},

cada elemento del cual es la suma de algunos miembros de la secuencia original

{\displaystyle \{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j))

En general, se utiliza un símbolo para designar una serie:

\sum _{i=1,j=1}^{\infty}a_{i,j},

ya que aquí se indica la secuencia inicial de elementos de la serie, así como la regla de la sumatoria.

De acuerdo con esto, se dice acerca de la convergencia de la doble serie numérica:

una doble serie numérica converge si la secuencia de sus sumas parciales converge, es decir, la serie converge y tiene una suma si, cualquiera que sea , hay números y tales que la desigualdad se cumple para y . Además, la condición para la convergencia de la serie doble a la suma se puede escribir como $\{a_{i,j}}\}$ $s$ $\varepsilon >0$ $m_{{0}}$ $n_{{0}}$ ${\displaystyle m>m_{0))$ $n>n_{{0}}$ $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ $s$

$\lim _{n,m\to \infty}s_{mn}=s$ .

una doble serie numérica diverge si la secuencia de sus sumas parciales diverge;
una doble serie numérica converge absolutamente si la serie de módulos de sus miembros converge.

Si una serie de números converge, entonces el límite de la secuencia de sus sumas parciales se llama suma de la serie : $S$

{\displaystyle S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty}a_{i,j))

Propiedades

Que todas las filas converjan en una serie doble convergente con suma , y también que converja una serie compuesta por sus sumas, es decir, que haya límites en las igualdades y . entonces _ Del mismo modo, si hay límites y . Entonces [2] . $\{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty}$ $s$ ${\displaystyle s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij))$ $s'=\lim_{m\to\infty}\sum_{i=1}^{m}s_{i*}$ $s=s'$ ${\displaystyle s_{*j}=\lim _{m\to \infty}\sum _{i=1}^{m}a_{ij))$ ${\displaystyle s''=\lim _{n\to \infty}\sum _{j=1}^{n}s_{*j))$ ${\ estilo de visualización s = s''}$
El teorema de Markov. Deje que todas las filas y todas las columnas converjan en una fila doble . Denotemos la suma de filas . $\{a_{i,j}}\}$ ${\displaystyle s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty}a_{mn))$ ${\displaystyle s_{*n}=\sum_{m=1}^{\infty}a_{mn))$ $s'=\sum _{m=1}^{\infty}a_{m*}$

Después:

- $k$ -ésimos restos de filas forman una serie convergente con alguna suma . ${\displaystyle r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty}a_{mn))$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty}r_{m}^{(k)))$ ${\ Displaystyle R_ {k}}$
- Para que una serie compuesta por las sumas de las columnas converja, es necesario y suficiente que exista el límite . ${\displaystyle s''=\sum _{n=1}^{\infty}s_{*n))$ $\lim _{k\to \infty}R_{k}=R$
- Para la igualdad es necesario y suficiente que haya [3] . $s'=s''$ ${\ estilo de visualización R = 0}$

Notas

↑ Vorobyov, 1986 , pág. 234.
↑ Vorobyov, 1986 , pág. 238.
↑ Vorobyov, 1986 , pág. 239.

Literatura

Vorobyov N. N. Teoría de la serie. - M. : Nauka, 1986. - 408 p.