Convergencia absoluta

Una serie convergente se llama absolutamente convergente si la serie de módulos converge , de lo contrario se llama condicionalmente convergente . $\sum a_{n}$ $\suma |a_{n}|$

De manera similar, si una integral impropia de una función converge, entonces se la llama absoluta o condicionalmente convergente, dependiendo de si la integral de su módulo converge o no . $\int f(x)\,dx$ $\int |f(x)|\,dx$

En el caso de un espacio normado general, el módulo en la definición se reemplaza por una norma.

Filas

Señales de convergencia absoluta

Signo de comparación

Si en , entonces: $\existe N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$ $n\geqslant N_{0}$

si la serie converge entonces la serie converge absolutamente $\suma b_{n}$ $\sum a_{n}$
si la serie diverge entonces la serie diverge $\sum a_{n}$ $\suma b_{n}$

Según el criterio de Cauchy , . Por lo tanto, y según el criterio de Cauchy, la serie converge. La segunda afirmación se deriva de la primera, ya que si la serie convergiera, entonces la serie convergería.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k} \right|\leqslant\varepsilon

\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}a_{k}\right|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}|a_{k}| \leqslant \sum_{{k=n}}^{{m}}b_{k}\leqslant \left|\sum_{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right| \leqslant \varepsilon

\sum a_{n}

\suma b_{n}

\sum a_{n}

Un criterio para la convergencia de series con términos monótonamente decrecientes

deja _ Entonces la serie converge si y solo si la serie converge $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}a_{n}$ $\sum _{{k=0}}^{{\infty}}2^{{k}}a_{{2^{k}}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+ 8a_{8}+...$

Prueba

Denotar:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}$

Dado que la convergencia de una serie con términos no negativos es equivalente a la acotación de la sucesión de sus sumas parciales, basta con demostrar que y son acotados o no acotados simultáneamente. $s_{n}$ $gracias$

cuando tenemos $n<2^{k}$

$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{{2^{k}}}+...+a_{{2^{{ k+1}}-1}})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}=t_{k}$

De este modo, $s_{n}\leqslant t_{k}$

Por otro lado, cuando $n>2^{k}$

$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+. ..+a_{2^{k)))\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1} a_{2^{k}}={\frac{1}{2}}t_{k}$

Por tanto, ambas secuencias y /o ambas están limitadas, o ambas no están limitadas. $2s_{n}\geqslant t_{k}$ $s_{n}$ $gracias$

Signos de Cauchy y d'Alembert

Signo de d'Alembert

Fila $\sum a_{n}$

converge absolutamente si $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|<1$
diverge si $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|>1$
Hay series convergentes y divergentes para las cuales $\varliminf_{{n\to \infty}}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup_{{n\ a \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$

signo de cauchy

Sea una serie y se dé . Después $\sum a_{n}$ $\alpha =\varlimsup _{{{n\to \infty}}{\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}$

Si , entonces la serie converge absolutamente $\ alfa < 1$
Si , entonces la serie diverge $\ alfa > 1$
Hay series convergentes y divergentes para las cuales $\alpha=1$

La afirmación sobre la convergencia en los signos de Cauchy y d'Alembert se deriva de una comparación con una progresión geométrica (con denominadores y respectivamente), sobre la divergencia - del hecho de que el término común de la serie no tiende a cero. $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$ $\alfa$

Si el signo de d'Alembert indica convergencia, entonces el signo de Cauchy indica convergencia; si la prueba de Cauchy no nos permite sacar una conclusión acerca de la convergencia, entonces la prueba de d'Alembert tampoco nos permite sacar ninguna conclusión. La prueba de Cauchy es más fuerte que la prueba de d'Alembert porque hay series para las que la prueba de Cauchy indica convergencia y la prueba de d'Alembert no indica convergencia.

Prueba integral de Cauchy-Maclaurin

Sean dadas una serie y una función tales que: $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}a_{n},a_{n}\geqslant 0$ $f(x):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$f(x)$ no estrictamente monótonamente decreciente: $x_{1}<x_{2}\Flecha derecha f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$
$\forall\n:\ f(n)=a_{n}$

Entonces la serie y la integral convergen o divergen simultáneamente, y $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}a_{n}$ $\int \limites _{1}^{\infty}f(x)dx$ $\forall k\geqslant 1\ \sum _{{n=k}}^({\infty }}a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^({\infty }}f(x)dx \geqslant \sum_{{n=k+1}}^{{\infty}}a_{n}$

Signo de Raabe

Dejemos la serie , y se den . $\sum a_{n}$ $a_{n}>0$ $R_{n}=n\izquierda({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\derecha)$

Si , entonces la serie converge $\varliminfo _{{n\to \infty}}R_{n}>1$
Si , entonces la serie diverge $\varlimsup_{{n\to \infty}}R_{n}\leqslant 1$
Hay series convergentes y divergentes para las cuales $\varliminf_{{n\to \infty}}R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup_{{n\to \infty}}R_{n}$

El signo de Raabe se basa en la comparación con la serie armónica generalizada

Acciones de fila

Si ambas series convergen absolutamente, entonces su suma converge absolutamente . $\sum a_{n}$ $\suma b_{n}$ $\suma (a_{n}+b_{n})$
Si al menos una de las series converge absolutamente, entonces su producto de Cauchy converge, pero si ambas series convergen absolutamente, entonces su producto converge absolutamente. $\sum _{{n=0}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty}b_{n}$ $\sum c_{n},c_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}$
Una serie converge absolutamente si y solo si cada una de sus permutaciones converge. Además, todas las permutaciones de una serie absolutamente convergente convergen en la misma suma.

Ejemplos

Consideremos una serie . Para esta fila: ${\ fracción {1}{2}}+{\ fracción {1}{3}}+{\ fracción {1}{2^{2}}}+{\ fracción {1}{3^{2}} }+{\frac{1}{2^{3}}}+...$

$\varliminf_{{n\a \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\a \infty}}\left({\ fracción {2}{3}}\right)^{n}=0$
$\varlimsup_{{n\to \infty}}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim_{{n\to \infty}}{\sqrt[ {2n}]{{ \frac {1}{2^{n}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}$
$\varlimsup_{{n\to \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\to \infty}}\left({\ fracción {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$

Así, la prueba de Cauchy indica convergencia, mientras que la prueba de d'Alembert no permite extraer conclusiones.

Considere la serie $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}2^{{n-(-1)^{n}}}$

$\varlimsup _{{n\a \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\a \infty}}{\frac {2 ^{{n+1+1}}}{2^{{n-1}}}}=8$
$\varliminf_{{n\a \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\a \infty}}{\frac {2 ^{{n+1-1}}}{2^{{n+1}}}}={\frac{1}{2}}$
$\varlimsup _{{n\hasta \infty}}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty}}2{\sqrt[ {n}]{ 2^{{(-1)^{n}}}}}}=2$

Así, la prueba de Cauchy indica divergencia, mientras que la prueba de d'Alembert no permite extraer conclusiones.

La serie converge en y diverge en , sin embargo: $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {1}{n^{\alpha}}}$ $\ alfa > 1$ $\alpha \leqslant 1$

$\varliminf_{{n\a \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\a \infty}}\left({\ fracción {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$
$\varlimsup_{{n\to \infty}}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim_{{n\to \infty}}n^{{\alpha /n}} =1$
$\varlimsup_{{n\to \infty}}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim_{{n\to \infty}}\left({\ fracción {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$

Así, los signos de Cauchy y d'Alembert no permiten sacar ninguna conclusión.

La serie converge condicionalmente según la prueba de Leibniz , pero no absolutamente, ya que la serie armónica diverge. $\sum _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ $\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum_{{n=1} }^{{\infty}}{\frac {1}{n}}$

Convergencia absoluta de integrales impropias de primera especie

Definición

Una integral impropia del primer tipo se llama absolutamente convergente si la integral converge . $\int \limits _{{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$ $\int \limits _{{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Propiedades

la convergencia de la integral implica la convergencia de la integral . $\int \limits _{{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$
Para identificar la convergencia absoluta de una integral impropia de primera clase, se utilizan los signos de convergencia de integrales impropias de primera clase de funciones no negativas.
Si la integral diverge, entonces se pueden usar los signos de Abel y Dirichlet para identificar la convergencia condicional de la integral impropia del primer tipo . $\int \limits _{{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Convergencia absoluta de integrales impropias de segunda clase

Definición

Sea definida e integrable en , ilimitada en la vecindad izquierda del punto . Una integral impropia del segundo tipo se llama absolutamente convergente si la integral converge . $f(x)$ $[a;b-\varepsilon\]\quad\forall\varepsilon\\in (0;ba)$ $b$ $\int \limites _{{a}}^{b}}f(x)dx$ $\int \limits_{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Propiedades

la convergencia de la integral implica la convergencia de la integral . $\int \limits_{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$ $\int \limites _{{a}}^{b}}f(x)dx$
Para identificar la convergencia absoluta de una integral impropia de segundo tipo, se utilizan los signos de convergencia de integrales impropias de segundo tipo de funciones no negativas.
Si la integral diverge, entonces se pueden usar los signos de Abel y Dirichlet para identificar la convergencia condicional de la integral impropia de segundo tipo . $\int \limits_{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Fuentes

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matemáticas. - Ed. 7º, estereotipado. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1967. - S. 296.

Véase también

diccionarios y enciclopedias	Gran danés