Transformada discreta de Hartley

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 30 de septiembre de 2017; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

La transformada discreta de Hartley (abreviada como DHT) es un tipo de transformación trigonométrica ortogonal discreta. En muchos casos, puede servir como sustituto de la transformada discreta de Fourier .

Definición

La secuencia de números reales , , … , se transforma en una secuencia de números reales , , … , utilizando la transformada discreta de Hartley según la fórmula: $norte$ $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $norte$ $H_{0}$ $H_1$ $H_{N-1}$

H_{k}={\dfrac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}h_{n}\operatorname {cas} \left({\dfrac { 2\pi }{N}}nk\right),\ k=0,\ldots ,N-1,

donde [1] . La transformada de Hartley discreta inversa viene dada por la fórmula: $\operatorname {cas} x=\cos x+\sin x$

h_{n}=\sum \limits _{k=0}^{N-1}H_{k}\operatorname {cas} \left({\dfrac {2\pi }{N}}nk\ derecha),\ n=0,\ldots,N-1.

Cabe señalar que, a diferencia de la transformada discreta de Fourier (abreviada DFT), la transformada de Hartley da una serie de números reales.

Existen las siguientes fórmulas para la transición de DFT (secuencia , , ... , ) a DFT y viceversa [2] : $F_{0}$ $F_{1}$ ${\ Displaystyle F_ {N-1}}$

H_{k}=\operatorname {Re} F_{k}-\operatorname {Im} F_{k},

F_{k}={\dfrac {1}{2}}(H_{k}+H_{Nk})-i{\dfrac {1}{2}}(H_{k}-H_{Nk }),\ k=0,\ldots,N-1.

Transformación rápida de Hartley

La idea de la Transformada Rápida de Hartley (abreviada como FFT) es la misma que la de la Transformada Rápida de Fourier (abreviada como FFT): debido a la simetría, se puede reducir el número de cálculos.

Sean dos nuevas secuencias de longitud igual a y obtenidas a partir de la secuencia original , , ... , y sean sus DPT iguales a y , respectivamente , donde . En estas notaciones, la fórmula general de BPH tiene la siguiente forma [3] : $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $norte$ $\left(h_{0},0,h_{2},0,\ldots \right)$ $\left(0,h_{1},0,h_{3},\ldots \right)$ ${\ Displaystyle H_ {1, k}}$ ${\ Displaystyle H_ {2, k}}$ $k=0,\ldots,N-1$

H_{k}=H_{1,k}+H_{2,k}\cos \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right)+H_{2,Nk}\ sin \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right).

Usando las fórmulas de conversión DFT a DFT anteriores, puede usar FHT para calcular la FFT, lo que simplifica los cálculos debido a la falta de multiplicaciones complejas [4] .

Notas

↑ Bracewell, 1990 , pág. 34.
↑ Bracewell, 1990 , pág. 36.
↑ Bracewell, 1990 , pág. 97.
↑ Bracewell, 1990 , pág. 91.

Literatura

Bracewell, R. Hartley Transformar. — M .: Mir , 1990. — 175 p. — ISBN 5-03-001632-5 . (Ruso)

Véase también

Transformada compleja discreta