Problema de Burnside

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El problema de Burnside  es una serie de problemas de la teoría de grupos en torno a la cuestión de la posibilidad de determinar la finitud de un grupo basándose únicamente en las propiedades de sus elementos: un grupo generado finitamente en el que cada elemento tiene un orden finito debe ser necesariamente finito.

Formulado por Burnside en 1902 . Se considera uno de los problemas clave de la teoría de grupos.

Cuando se agregan ciertas condiciones, se obtiene el problema de Burnside restringido, el problema de Burnside debilitado.

Historia

Los esfuerzos iniciales se dirigieron hacia una solución positiva al problema, ya que todos los casos especiales conocidos dieron una respuesta positiva. Por ejemplo, si un grupo está generado por elementos y el orden de cada uno de sus elementos es divisor de 4, entonces es finito. Además, en 1959 Kostrikin (en el caso de un exponente simple ) [1] y en la década de 1980 Zelmanov (en el caso de un exponente primario) demostraron que entre los grupos finitos con un número dado de generadores y exponentes, existe el mayor . La clasificación de grupos finitos simples y los resultados de Kostrikin-Zelmanov implican la existencia del grupo finito más grande entre todos los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente dado.

Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito tipo Burnside sin asumir que cada elemento tiene un orden acotado uniformemente. En 1968, Novikov y Adyan propusieron una solución negativa al problema con un exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381 [2] [3] [4] . En 1975, Adian mejoró el método y dio una solución negativa al problema con un exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 665 [5] . En 1982, Olshansky encontró varios contraejemplos (en particular, el monstruo Tarski ) para exponentes impares suficientemente grandes (mayores que ) y proporcionó una prueba basada en ideas geométricas.

El caso de un exponente par resultó ser más complicado. En 1992, Ivanov anunció una solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por grandes potencias de 2 (se publicó una prueba detallada en 1994 y tomó alrededor de 300 páginas). Posteriormente, en un trabajo conjunto, Olshansky e Ivanov dieron una solución negativa para un análogo del problema de Burnside para el caso de grupos hiperbólicos, siempre que el exponente sea suficientemente grande.

Condición del problema

El problema de Burnside ilimitado . En un grupo generado finitamente, todos los elementos tienen un orden finito. Aunque, es posible que en conjunto estos pedidos no estén limitados. ¿Se sigue de esto que el grupo tiene un número finito de elementos?

El problema de Burnside restringido . En un grupo generado finitamente, los órdenes de todos los elementos no exceden un número dado. ¿Es cierto que este es un grupo de orden finito?

Notas

  1. ↑ Kostrikin, A. I. Actas de la Academia de Ciencias de la URSS // Serie Matemática. - 1959. - v. 23. - Núm. 1. - pág. 3-34.
  2. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Sobre infinitos grupos periódicos. I  // Actas de la Academia de Ciencias de la URSS. Serie matemática. - 1968. - T. 32, número 1 . - S. 212-244 .
  3. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Sobre infinitos grupos periódicos. II  // Actas de la Academia de Ciencias de la URSS. Serie matemática. - 1968. - T. 32, número 2 . - S. 251-524 .
  4. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Sobre infinitos grupos periódicos. III  // Actas de la Academia de Ciencias de la URSS. Serie matemática. - 1968. - T. 32, número 3 . - S. 709-731 .
  5. ↑ Problema e identidades en grupos de Adyan S.I. Burnside. - M. : Nauka, 1975. - S. 336.

Literatura

Enlaces