El desafío de Znam

En teoría de números , el problema de Znam pregunta qué conjuntos de k enteros tienen la propiedad de que cada entero del conjunto es un divisor propio del producto de los otros enteros del conjunto más 1. El problema de Znam recibe su nombre del matemático eslovaco Stefan Znam. , quien propuso el problema en 1972, aunque otros matemáticos estaban analizando problemas similares por la misma época. Un problema relacionado no requiere que el divisor sea un divisor propio y se llama problema impropio de Znam.

Es fácil obtener una solución al problema impropio para cualquier k : los primeros k términos de la secuencia de Sylvester tienen las propiedades requeridas. Sun [1] mostró que hay al menos una solución al problema (adecuado) de Znam para cualquier k ≥ 5. La solución de Sun se basa en una relación recursiva similar a la secuencia de Sylvester pero con un conjunto diferente de valores iniciales.

El problema de Znam está estrechamente relacionado con las fracciones egipcias . Se sabe que solo hay un número finito de soluciones para cualquier k fijo . No se sabe si existen soluciones al problema de Znam solo con números impares. También hay algunos otros temas abiertos.

Reto

El problema de Znam pregunta qué conjuntos de k enteros tienen la propiedad de que cada entero del conjunto es un divisor propio del producto de los otros enteros del conjunto más 1. Es decir, dado un número k , ¿qué conjuntos de enteros existen?

\{n_{1},\ldots,n_{k}\}

tal que para cualquier i el número n i divide pero no es igual a

{\Bigl (}\prod_{j\neq i}^{n}n_{j}{\Bigr)}+1

Un problema relacionado se refiere al conjunto de números enteros que son divisores del producto de los otros números más uno, pero estos divisores no tienen que ser propios. No parece que este problema haya recibido un nombre estable en la literatura, y lo llamaremos problema impropio de Znam. Cualquier solución al problema de Znam es también una solución al problema de Znam impropio, pero lo contrario no siempre es cierto.

Historia

El problema de Znam lleva el nombre del matemático eslovaco Stefan Znam, quien propuso el problema en 1972. Barbeau [2] propuso el problema de Znam impropio para k = 3, y Mordell [3] encontró todas las soluciones del problema impropio para k ≤ 5. Skula [4] mostró que el problema de Znam no tiene soluciones para k < 5, y le da crédito a Yanak por encontrar la solución {2, 3, 11, 23, 31} para k = 5.

Ejemplos

Una de las soluciones para k = 5 es {2, 3, 7, 47, 395}. Cálculos simples muestran que

3×7×47×395	+ 1 =	389866,	es divisible por 2 pero no igual a 2
2×7×47×395	+ 1 =	259911,	divisible por 3 pero no igual a 3
2×3×47×395	+ 1 =	111391,	es divisible por 7 pero no igual a 7
2×3×7×395	+ 1 =	16591,	divisible por 47 pero no igual a 47
2×3×7×47	+ 1 =	1975	es divisible por 395 pero no igual a 395.

Una "casi solución" interesante para k = 4 es el conjunto {2, 3, 7, 43} formado por los primeros cuatro miembros de la sucesión de Sylvester. Un conjunto tiene la propiedad de que todo número entero del conjunto divide el producto de los otros miembros del conjunto más 1, pero el último miembro de ese conjunto es igual al producto de los primeros tres miembros más uno, por lo que ese miembro no es un divisor adecuado. Por lo tanto, esta solución es una solución al problema de Znam inadecuado y no al problema de Znam.

Conexión con las fracciones egipcias

Cualquier solución al problema de Znam impropio es equivalente a resolver la ecuación

\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=y,

(F1)

donde y , como cualquier x i , debe ser un número entero. Para mostrar esto, considere

{\displaystyle X_{i}=\prod_{j\neq i}^{n}x_{j))

(F2)

Tenga en cuenta que todos deben ser coprimos (de lo contrario, el divisor común debe dividir y ). Pongamos $x_{yo}$ $x_{yo}$ $x_{j}$ $X_{yo}$ $X_{i}+1$

N=\sum_{1}^{n}X_{i}+1

(F3)

Por las mismas razones que las anteriores, cualquier se divide , y dado que todos son coprimos, divisible por el producto . Dividimos ahora ambas partes de la ecuación (F3) por , obtenemos (F4) [5] $x_{yo}$ $norte$ $norte$ ${\displaystyle \prod_{j\neq i}^{n}x_{j))$ ${\displaystyle \prod_{j\neq i}^{n}x_{j))$

Por el contrario, todas las soluciones de la ecuación (F1) corresponden a soluciones del problema de Znam impropio. Sin embargo, para todas las soluciones conocidas y = 1, por lo que satisfacen la ecuación

\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.

(F4)

Así, esto lleva a la representación del número uno como una fracción egipcia , la suma de las fracciones de uno . Algunos de los artículos citados sobre el problema de Znam también estudian soluciones a esta ecuación. Brenton y Hill [6] describen una aplicación de la Ecuación (F4) en topología para clasificar las características de la superficie , y Domaracki y otros [7] describen una aplicación a la teoría de autómatas finitos no deterministas .

Número de soluciones

Como demostraron Janak y Skula [8] , el número de soluciones para cualquier k es finito, por lo que tiene sentido calcular el número total de soluciones para cada k .

Brenton y Vassiliou después de los cálculos encontraron que el número de soluciones para valores pequeños de k , a partir de k = 5, forman una secuencia

2 , 5 , 18 , 96 secuencia A075441 en OEIS .

Por el momento, se conocen varias soluciones para k = 9 yk = 10, pero no se sabe cuántas soluciones quedan por encontrar para estos valores. Sin embargo, si k no es fijo, hay infinitas soluciones: Cao y Jing [9] demostraron que hay al menos 39 soluciones para cualquier k ≥ 12, lo que mejora un resultado anterior que demostró la existencia de menos soluciones [10] [ 11] . Sun y Cao [11] sugirieron que el número de soluciones para cada k crece monótonamente con k .

No se sabe si existe alguna solución al problema de Znam con solo números impares. Con una excepción, todas las soluciones conocidas comienzan con 2 . Si todos los números en la solución del problema de Znam o del problema de Znam impropio son primos , su producto es un número pseudoperfecto simple [12] . No se sabe si existe un número infinito de soluciones de este tipo.

Notas

↑ Sol, 1983 .
↑ Barbeau, 1971 .
↑ Mordel, 1973 .
↑ Skula, 1975 .
↑ Brenton, Vasiliu, 2002 , pág. 6.
↑ Brenton, Colina, 1988 .
↑ Domaratzki, Ellul, Shallit, Wang, 2005 .
↑ Janak, Skula, 1978 .
↑ Cao, Jing, 1998 .
↑ Cao, Liu, Zhang, 1987 .
↑ 12 Sun , Cao, 1988 .
↑ Butske, Jaje, Mayernik, 2000 .

Literatura

GEJ Barbeau. Problema 179 // Boletín Matemático Canadiense . - 1971. - T. 14 , núm. 1 . - art. 129 .
Lawrence Breton, Richard Hill. Sobre la ecuación diofántica 1=Σ1/ n i + 1/Π n i y una clase de singularidades superficiales complejas homólogamente triviales // Pacific Journal of Mathematics . - 1988. - T. 133 , núm. 1 . — págs. 41–67 . -doi : 10.2140 / pjm.1988.133.41 . (enlace no disponible)
Lawrence Brenton, Ana Vasiliu. Problema de Znám // Revista de Matemáticas . - 2002. - T. 75 , núm. 1 . — pág. 3–11 . -doi : 10.2307/ 3219178 . — .
William Butske, Lynda M. Jaje, Daniel R. Mayernik. Sobre la ecuación , números pseudoperfectos y gráficos perfectamente ponderados // Matemáticas de computación . - 2000. - T. 69 . — S. 407–420 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-99-01088-1 . $\scriptstyle \sum _{p|N}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{N}}=1$ .
Zhen Fu Cao, Cheng Ming Jing. Sobre el número de soluciones del problema de Znám // J. Harbin Inst. Tech.. - 1998. - T. 30 , núm. 1 . — págs. 46–49 . .
Zhen Fu Cao, Rui Liu, Liang Rui Zhang. Sobre la ecuación y el problema de Znám // Journal of Number Theory . - 1987. - T. 27 , núm. 2 . — S. 206–211 . - doi : 10.1016/0022-314X(87)90062-X . $\scriptstyle \sum _{j=1}^{s}(1/x_{j})+(1/(x_{1}\cdots x_{s}))=1$
Michael Domaratzki, Keith Ellul, Jeffrey Shallit, Ming-Wei Wang. No unicidad y radio de NFA unarios cíclicos // Revista internacional de fundamentos de informática. - 2005. - T. 16 , núm. 5 . — S. 883–896 . -doi : 10.1142/ S0129054105003352 .
Jaroslav Janak, Ladislav Skula. En los enteros para los cuales // Math. Eslovaca. - 1978. - T. 28 , núm. 3 . — S. 305–310 . ${\ estilo de pantalla \ estilo de script x_ {i}}$ $\scriptstyle x_{i}|x_{1}\cdots x_{i-1}x_{i+1}\cdots x_{n}+1$
LJ Mordell. Sistemas de congruencias // Boletín Matemático Canadiense . - 1973. - T. 16 . — S. 457–462 . -doi : 10.4153 / CMB-1973-077-3 .
Ladislav Skula. Sobre un problema de Znám // Acta Fac. Rerum Natur. Universidad Comenian Matemáticas.. - 1975. - T. 32 . — S. 87–90 . En ruso.

Qi sol. Sobre un problema de Š. Znam // Sichuan Daxue Xuebao. - 1983. - Edición. 4 . — págs. 9–12 . .
Qi Sun, Zhen Fu Cao. Sobre la ecuación y el número de soluciones del problema de Znám // Northeastern Mathematics Journal. - 1988. - V. 4 , núm. 1 . — págs. 43–48 . $\scriptstyle \sum _{j=1}^{s}1/x_{j}+1/x_{1}\cdots x_{s}=n$

Enlaces

primer ventilador Soluciones al problema de Znam . (indefinido)
Weisstein, Eric W. Znám's Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .