Divisibilidad

La divisibilidad es uno de los conceptos básicos de la aritmética y la teoría de números asociada a la operación de división . Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos , la divisibilidad de los números enteros es una relación definida sobre el conjunto de los números enteros .

Definición

Si para algún entero y un entero existe tal entero , entonces se dice que el número es divisible por o que divide $a$ $b$ $q$ $bq=a,$ $a$ $b$ $b$ $una.$

En este caso, el número se llama divisor del número , el dividendo será un múltiplo del número y el número se llama el cociente de dividir por . $b$ $a$ $a$ $b$ $q$ $a$ $b$

Aunque la propiedad de divisibilidad se define en el conjunto completo de números enteros , generalmente solo se considera la divisibilidad de los números naturales . En particular, la función del número de divisores de un número natural cuenta solo sus divisores positivos.

Notación

$a\,\vpuntos\,b$ significa [1] , que es divisible por , o que el número es un múltiplo de . $a$ $b$ $a$ $b$

$b/media a$ significa que divide , o, lo que es lo mismo: - divisor . $b$ $a$ $b$ $a$

Definiciones relacionadas

Todo número natural mayor que 1 tiene al menos dos divisores naturales: 1 y el propio número. En este caso, los números naturales que tienen exactamente dos divisores se llaman primos , y los que tienen más de dos divisores se llaman compuestos . La unidad tiene exactamente un divisor y no es ni primo ni compuesto.
Todo número natural mayor que tiene al menos un divisor primo . $una$
Un divisor propio de un número es cualquier divisor que no sea el propio número. Los números primos tienen exactamente un divisor propio, uno.
También se utiliza el concepto de divisores triviales : este es el número mismo y la unidad. Por lo tanto, un número primo se puede definir como un número que no tiene más divisores que los triviales.
Independientemente de la divisibilidad de un número entero por un número entero , un número siempre se puede dividir con un resto , es decir, representado como: $a$ $b\neq 0$ $a$ $b$ $a=b\,q+r,$ donde _ $0\leqslant r<|b|$

En esta relación, el número se llama cociente incompleto y el número es el resto de la división por . Tanto el cociente como el resto están definidos de forma única.

q

r

a

b

Un número es divisible por si y solo si el resto de la división por es cero.

a

b

a

b

Cualquier número que divide a ambos y se llama su divisor común ; el mayor de estos números se llama el máximo común divisor . Cada par de números enteros tiene al menos dos divisores comunes: y . Si no hay otros divisores comunes, estos números se llaman primos relativos . $a$ $b$ $+1$ $-una$
Se dice que dos números enteros y son igualmente divisibles por un número entero si y , y es divisible por , o ninguno , ni es divisible por él. $a$ $b$ $metro$ $a$ $b$ $metro$ $a$ $b$
Se dice que un número es múltiplo de otro número si es divisible por sin resto. Si un número es divisible sin resto por números y , entonces se llama su múltiplo común . El menor número natural de este tipo se denomina mínimo común múltiplo de los números y . $a$ $b$ $a$ $b$ $C$ $a$ $b$ $C$ $a$ $b$

Propiedades

Nota: Todas las fórmulas de esta sección asumen que son números enteros.

a B C

Cualquier número entero es un divisor de cero , y el cociente es cero:

\quad0\,\vdots\,a.

Todo entero es divisible por uno:

\quad a\,\vdots\,1.

Solo el cero es divisible por cero:

a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0

y el cociente no está definido en este caso.

Uno solo es divisible por uno:

1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.

Para cualquier número entero, hay un número entero para el cual $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vpuntos\,a.$

Si y entonces También se sigue que si y entonces $a\,\vpuntos\,b$ $\izquierda|b\derecha|>\izquierda|a\derecha|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vpuntos\,b$ $a\neq 0$ $\izquierda|a\derecha|\geqslant \izquierda|b\derecha|.$

Para que sea necesario y suficiente para $a\,\vpuntos\,b$ $\izquierda|a\derecha|\vdots \izquierda|b\derecha|.$

si entonces $a_{1}\,\vpuntos\,b,\,a_{2}\,\vpuntos\,b,\,\puntos,\,a_{n}\,\vpuntos\,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

La relación de divisibilidad de los números naturales es una relación de orden no estricto y, en particular, es:
- reflexivamente , es decir, cualquier número entero es divisible por sí mismo: $\quad a\,\vdots \,a.$
- transitiva , es decir, si y entonces $a\,\vpuntos\,b$ $b\,\vpuntos\,c,$ $a\,\vpuntos\,c.$
- antisimétrico , es decir, si y entonces $a\,\vpuntos\,b$ $b\,\vpuntos\,a,$ ${\ estilo de visualización a \, = \, b.}$

En el sistema de enteros, solo se cumplen las dos primeras de estas tres propiedades; por ejemplo, y pero . Es decir, la razón de divisibilidad de los números enteros es solo un preorden .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots\,2,

{\ estilo de visualización 2 \ neq -2}

Número de divisores

El número de divisores positivos de un número natural , generalmente denotado es una función multiplicativa , para la cual es verdadera la fórmula asintótica de Dirichlet : $norte,$ ${\ estilo de visualización \ tau (n),}$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right).

Aquí está la constante de Euler-Mascheroni , y para Dirichlet este resultado ha sido mejorado muchas veces, y actualmente es el resultado más conocido (obtenido en 2003 por Huxley). Sin embargo, se desconoce el valor más pequeño de , en el que esta fórmula seguirá siendo cierta (se demuestra que no es menor que ). [2] [3] [4] $\gama$ $\ theta$ ${\ fracción {1}{2}}.$ $\theta ={\frac{131}{416}}$ $\ theta$ ${\frac{1}{4))$

En este caso, el divisor promedio de un gran número n crece en promedio como , que fue descubierto por A. Karatsuba [5] . Según estimaciones informáticas de M. Korolev . ${\frac{c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\aproximadamente 0{,}7138067$

Generalizaciones

La noción de divisibilidad se generaliza a anillos arbitrarios , como los enteros gaussianos o un anillo polinomial .

Véase también

Enlaces

vídeo de divisibilidad

Notas

↑ Vorobyov, 1988 , pág. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Teoría de Números . - M. : Educación, 1966.
↑ IM Vinogradov. Teoría analítica de números // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ V. y Arnold. Dinámica, estadística y geometría proyectiva de campos de Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Literatura

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números. M.-L.: Estado. edición literatura técnica y teórica, 1952, 180 p.
Vorobyov N. N. Signos de divisibilidad . - 4ª ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 p. - ( Clases populares de matemáticas ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Divisibilidad // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. A. P. Savin. - M. : Pedagogía , 1985. - S. 95 . — 352 págs.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Britannica (en línea)

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto prima unitaria número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante