Divisibilidad
La divisibilidad es uno de los conceptos básicos de la aritmética y la teoría de números asociada a la operación de división . Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos , la divisibilidad de los números enteros es una relación definida sobre el conjunto de los números enteros .
Definición
Si para algún entero y un entero existe tal entero , entonces se dice que el número es divisible por o que divide




En este caso, el número se llama divisor del número , el dividendo será un múltiplo del número y el número se llama el cociente de dividir por .






Aunque la propiedad de divisibilidad se define en el conjunto completo de números enteros , generalmente solo se considera la divisibilidad de los números naturales . En particular, la función del número de divisores de un número natural cuenta solo sus divisores positivos.
Notación
significa [1] , que es divisible por , o que el número es un múltiplo de .


significa que divide , o, lo que es lo mismo: - divisor .


Definiciones relacionadas
- Todo número natural mayor que 1 tiene al menos dos divisores naturales: 1 y el propio número. En este caso, los números naturales que tienen exactamente dos divisores se llaman primos , y los que tienen más de dos divisores se llaman compuestos . La unidad tiene exactamente un divisor y no es ni primo ni compuesto.
- Todo número natural mayor que tiene al menos un divisor primo .

- Un divisor propio de un número es cualquier divisor que no sea el propio número. Los números primos tienen exactamente un divisor propio, uno.
- También se utiliza el concepto de divisores triviales : este es el número mismo y la unidad. Por lo tanto, un número primo se puede definir como un número que no tiene más divisores que los triviales.
- Independientemente de la divisibilidad de un número entero por un número entero , un número siempre se puede dividir con un resto , es decir, representado como:




donde _
En esta relación, el número se llama
cociente incompleto y el número es el
resto de la división por . Tanto el cociente como el resto están definidos de forma única.




Un número es divisible por si y solo si el resto de la división por es cero.



- Cualquier número que divide a ambos y se llama su divisor común ; el mayor de estos números se llama el máximo común divisor . Cada par de números enteros tiene al menos dos divisores comunes: y . Si no hay otros divisores comunes, estos números se llaman primos relativos .




- Se dice que dos números enteros y son igualmente divisibles por un número entero si y , y es divisible por , o ninguno , ni es divisible por él.








- Se dice que un número es múltiplo de otro número si es divisible por sin resto. Si un número es divisible sin resto por números y , entonces se llama su múltiplo común . El menor número natural de este tipo se denomina mínimo común múltiplo de los números y .









Propiedades
Nota: Todas las fórmulas de esta sección asumen que son números enteros.
- Cualquier número entero es un divisor de cero , y el cociente es cero:
- Todo entero es divisible por uno:
- Solo el cero es divisible por cero:

,
y el cociente no está definido en este caso.
- Uno solo es divisible por uno:
- Para cualquier número entero, hay un número entero para el cual



- Si y entonces También se sigue que si y entonces






- Para que sea necesario y suficiente para


- si entonces


En el sistema de enteros, solo se cumplen las dos primeras de estas tres propiedades; por ejemplo, y pero . Es decir, la razón de divisibilidad de los números enteros es solo un
preorden .


Número de divisores
El número de divisores positivos de un número natural , generalmente denotado es una función multiplicativa , para la cual es verdadera la fórmula asintótica de Dirichlet :

Aquí está la constante de Euler-Mascheroni , y para Dirichlet este resultado ha sido mejorado muchas veces, y actualmente es el resultado más conocido (obtenido en 2003 por Huxley). Sin embargo, se desconoce el valor más pequeño de , en el que esta fórmula seguirá siendo cierta (se demuestra que no es menor que ). [2] [3] [4]




En este caso, el divisor promedio de un gran número n crece en promedio como , que fue descubierto por A. Karatsuba [5] . Según estimaciones informáticas de M. Korolev .


Generalizaciones
La noción de divisibilidad se generaliza a anillos arbitrarios , como los enteros gaussianos o un anillo polinomial .
Véase también
Enlaces
Notas
- ↑ Vorobyov, 1988 , pág. 7.
- ↑ A. A. Bukhshtab. Teoría de Números . - M. : Educación, 1966.
- ↑ IM Vinogradov. Teoría analítica de números // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
- ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- ↑ V. y Arnold. Dinámica, estadística y geometría proyectiva de campos de Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.
Literatura
diccionarios y enciclopedias |
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