Divisibilidad

La divisibilidad  es uno de los conceptos básicos de la aritmética y la teoría de números asociada a la operación de división . Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos , la divisibilidad de los números enteros es una relación definida sobre el conjunto de los números enteros .

Definición

Si para algún entero y un entero existe tal entero , entonces se dice que el número es divisible por o que divide

En este caso, el número se llama divisor del número , el dividendo será un múltiplo del número y el número se llama el cociente de dividir por .

Aunque la propiedad de divisibilidad se define en el conjunto completo de números enteros , generalmente solo se considera la divisibilidad de los números naturales . En particular, la función del número de divisores de un número natural cuenta solo sus divisores positivos.

Notación

Definiciones relacionadas

En esta relación, el número se llama cociente incompleto y el número  es el resto de la división por . Tanto el cociente como el resto están definidos de forma única. Un número es divisible por si y solo si el resto de la división por es cero.

Propiedades

Nota: Todas las fórmulas de esta sección asumen que  son números enteros. ,

y el cociente no está definido en este caso.

En el sistema de enteros, solo se cumplen las dos primeras de estas tres propiedades; por ejemplo, y pero . Es decir, la razón de divisibilidad de los números enteros es solo un preorden .

Número de divisores

El número de divisores positivos de un número natural , generalmente denotado es una función multiplicativa , para la cual es verdadera la fórmula asintótica de Dirichlet :

Aquí  está la constante de Euler-Mascheroni , y para Dirichlet este resultado ha sido mejorado muchas veces, y actualmente es el resultado más conocido (obtenido en 2003 por Huxley). Sin embargo, se desconoce el valor más pequeño de , en el que esta fórmula seguirá siendo cierta (se demuestra que no es menor que ). [2] [3] [4]

En este caso, el divisor promedio de un gran número n crece en promedio como , que fue descubierto por A. Karatsuba [5] . Según estimaciones informáticas de M. Korolev .

Generalizaciones

La noción de divisibilidad se generaliza a anillos arbitrarios , como los enteros gaussianos o un anillo polinomial .

Véase también

Enlaces

Notas

  1. Vorobyov, 1988 , pág. 7.
  2. A. A. Bukhshtab. Teoría de Números . - M. : Educación, 1966.
  3. IM Vinogradov. Teoría analítica de números // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985.
  4. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  5. V. y Arnold. Dinámica, estadística y geometría proyectiva de campos de Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Literatura