El problema de stefano

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de marzo de 2021; la verificación requiere 1 edición .

El problema de Stefan es un tipo especial de problema de valor límite para una ecuación diferencial parcial , que describe el cambio en el estado de fase de una sustancia, en el que la posición del límite de fase cambia con el tiempo. La presencia de interfaces entre fases, que no se especifican explícitamente y pueden cambiar con el tiempo, es un rasgo característico de tales problemas. La tasa de desplazamiento de los límites de la interfase está determinada por una condición adicional en la interfaz, que lleva el problema a una forma no lineal.

En la literatura, el problema de Stefan también se denomina problema de límite móvil, problema de límite libre o problema de cambio de fase.

Ejemplos de procesos físicos con transiciones de fase son: el problema de derretir hielo con un límite cambiante entre el agua y el hielo, el problema de derretir un sólido con un límite desconocido entre las fases sólida y líquida, el problema de redistribuir la concentración durante la difusión mutua en un aleación de metal con interfaces móviles de diferentes fases composición química.

Historia

El primer trabajo en esta área se considera el artículo de G. Lame y B. P. Clapeyron "Sobre la solidificación de una bola de líquido refrigerante" en 1831, en el que se encontró que el espesor de la fase sólida se formó durante la solidificación de un líquido homogéneo. es proporcional a . Mucho más tarde, en 1889, el físico y matemático austríaco Josef Stefan publicó cuatro artículos sobre problemas con transiciones de fase. Posteriormente, los problemas de esta clase con límites de interfase móviles comenzaron a llamarse problemas de Stefan. En sus obras formuló y resolvió problemas que determinan los procesos de conducción y difusión del calor para regiones monofásicas o bifásicas. Además, J. Stefan formuló la ecuación de balance de calor en el límite de fase, teniendo en cuenta el calor latente, y ahora tales condiciones de conjugación de fase se denominan comúnmente condiciones de Stefan. ${\ estilo de visualización {\ sqrt {t))}$

Enunciado matemático del problema

Problema de Stefan unidimensional de una fase

Considere una pieza de hielo unidimensional semi-infinita con una temperatura de fusión inicial ≡ para ∈ [0,+∞). La posición del límite entre el hielo y el agua se indicará con . El flujo de calor actúa en el límite izquierdo, lo que provoca el derretimiento del hielo y un aumento del área ocupada por el agua. $tu(x, t)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $X$ $S t)$ $pie)$ ${\ estilo de visualización [0, s (t)]}$

${\displaystyle {\frac {\parcial u}{\parcial t))={\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))))$ - ecuación de conducción de calor , que describe el cambio de temperatura,

$-{\frac {\parcial u}{\parcial x))(0,t)=f(t),\;t>0$ es la condición de Neumann en el extremo izquierdo de la región, que describe el flujo de calor en la entrada,

$u{\grande (}s(t),t{\grande)}=0,\;t>0$ es la condición de Dirichlet en la interfase agua-hielo,

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\parcial u}{\parcial x}}{\big (}s(t),t {\grande)},\;t>0$ es la condición de Stefan, que determina la velocidad del límite interfacial,

$u(x,0)=0,\;x\geq 0$ es la distribución de temperatura inicial.

El problema unidimensional de dos fases de Stefan

Considere el proceso de interacción de difusión en un sistema metálico binario con - y -fases, que son soluciones sólidas regulares . Indicado por la posición del límite de interfase móvil, luego la -fase ocupa la región y la -fase [1] . ${\ estilo de visualización AB}$ $\alfa$ $\beta$ ${\ estilo de visualización s (t)}$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq x <s (t)}$ $\beta$ ${\ estilo de visualización s (t) <x \ leq l}$

${\frac {\parcial N_{B}}{\parcial t}}=D^{\alpha }\cdot {\frac {\parcial ^{2}N_{B}}{\parcial x^{ 2}}}$ es una ecuación que describe el cambio de concentración en la fase, $\alfa$

${\frac {\parcial N_{B}}{\parcial t}}=D^{\beta }\cdot {\frac {\parcial ^{2}N_{B}}{\parcial x^{ 2}}}$ es una ecuación que describe el cambio de concentración en la fase, $\beta$

$\left(N_{B}^{\beta }-N_{B}^{\alpha }\right)\cdot {\frac {ds}{dt))=-D^{\beta }\cdot {\frac {\parcial N_{B}}{\parcial x}}{\Bigr |}_{s(t)+0}+D^{\alpha }\cdot {\frac {\parcial N_{B} }{\parcial x}}{\Bigr |}_{s(t)-0}$ es una ecuación que determina la velocidad de movimiento del límite interfacial,

${\frac {\parcial N_{B}}{\parcial x}}{\Bigr |}_{x=0},\;{\frac {\parcial N_{B}}{\parcial x} }{\Grande |}_{x=l}$ - condiciones fronterizas,

donde es la concentración de átomos del tipo , y son los coeficientes de difusión en las fases, es el valor de la concentración en el límite derecho de la fase -, es el valor de la concentración en el límite izquierdo de la fase -. ${\ estilo de visualización N_ {B} (x, t)}$ ${\ estilo de visualización \; B}$ ${\ estilo de visualización D ^ {\ alfa}}$ ${\ Displaystyle D ^ {\ beta}}$ $N_{B}^{\alpha }\equiv N_{B}(s(t)-0,t)$ $\alfa$ $N_{B}^{\beta }\equiv N_{B}(s(t)+0,t)$ $\beta$

Métodos para resolver el problema de Stefan

La solución del problema de Stefan consiste en calcular el perfil de temperatura o concentración y determinar la posición de los límites de la interfase en diferentes momentos. Las principales dificultades para resolver este problema están relacionadas con el hecho de que las interfaces en movimiento forman regiones variables para calcular los valores de temperatura o concentración, y la posición de estas interfaces no se conoce de antemano y también debe determinarse durante la solución.

Existen métodos analíticos y numéricos para resolver el problema clásico de Stefan. Sin embargo, encontrar una solución al problema de Stefan en una forma analítica cerrada no es un problema simple, cuya solución es posible solo para un número limitado de casos cuando se considera una formulación simplificada del problema.

Los métodos numéricos para resolver el problema de Stefan se han generalizado . Los métodos numéricos existentes se pueden dividir condicionalmente en dos grupos. El primer grupo incluye métodos de conteo de extremo a extremo, que permiten no destacar el límite de fase y utilizar la ecuación general en todo el dominio computacional. Y el segundo grupo incluye métodos que implican la determinación explícita de la posición de los límites de la interfase.

La característica principal de los métodos de conteo es la ausencia de la necesidad de rastrear con precisión la posición de los límites de las interfases, lo que resulta bastante efectivo para resolver problemas multidimensionales y multifásicos. Para aplicar este enfoque, el problema original debe escribirse en una formulación generalizada como una sola ecuación con coeficientes discontinuos en las interfaces. Para construir un algoritmo numérico que resuelva el problema obtenido, los coeficientes discontinuos se suavizan en un cierto intervalo. Este enfoque fue propuesto en los trabajos de A. A. Samarsky y B. M. Budak [2] . Las desventajas de este enfoque son la dependencia de la precisión de la solución de diferencia en la elección del parámetro de suavizado y la baja precisión para determinar la posición de los límites de la interfase.

Entre los métodos de conteo de extremo a extremo, el método de conjunto de niveles y el método de campo de fase se están desarrollando activamente.

En la práctica, se utilizan ampliamente métodos que rastrean explícitamente el movimiento de los límites de la interfase. Todos los métodos de este grupo se basan en la idea de utilizar el método de diferencias finitas , cuando los cálculos se realizan sobre mallas uniformes o no uniformes. En este caso, siempre se determina entre qué nodos de la cuadrícula computacional se encuentra el límite móvil o por qué nodo pasa. Los más famosos entre ellos son el método de paso de tiempo variable y el método de fijación frontal.

Otro enfoque para resolver el problema de Stefan consiste en utilizar el método de adaptación dinámica de cuadrículas [3] .

El método de elementos finitos también se puede utilizar para resolver el problema de Stefan.

Extensiones del problema de Stefan

El problema clásico de Stefan trata con materiales estacionarios con propiedades térmicas constantes (generalmente independientes de la fase), temperatura de transición de fase constante y, en el ejemplo anterior, cambio instantáneo de la temperatura inicial a un cierto valor en el límite. En la práctica, las propiedades térmicas pueden cambiar y cambian con el cambio de fase. El salto de densidad en una transición de fase hace que el fluido se mueva: la energía cinética resultante no aparece en el balance de energía estándar. Con el cambio instantáneo de temperatura, la velocidad inicial del fluido es infinita, lo que da como resultado una energía cinética inicial infinita. De hecho, la capa de fluido a menudo está en movimiento, por lo que se requieren condiciones de advección o convección en la ecuación de calor. La temperatura de fusión puede variar según el tamaño, la curvatura o la velocidad de la interfaz. No es posible cambiar instantáneamente las temperaturas, y luego es difícil mantener una temperatura límite fija precisa. Además, a nanoescala, la temperatura puede que ni siquiera obedezca la ley de Fourier.

Literatura

El problema de Rubinshtein L.I. Stefan. - Riga: Zvaigzne, 1967. - 458 p.
Crank J. Problemas de límites libres y móviles. - Oxford: Clarendon Press, 1984. - 425 p.
Alexiades V., Solomon AD Modelado matemático de los procesos de fusión y congelación. Washington DC: Hemisferio Publ. Co, 1993. - 323 p.
El problema de Meirmanov A. M. Stefan. - Novosibirsk: Nauka, 1986. - 239 p.
Samarsky A. A., Vabishchevich P. N. Transferencia de calor computacional. - M. : Editorial URSS, 2003. - 784 p.
Javierre-Pérez E. Estudio de Literatura : Métodos numéricos para la resolución de problemas de Stefan, Informe 03-16 . - Delft: Universidad Tecnológica de Delft, 2003. - 94 p.
Caldwell J., Kwan YY Métodos numéricos para problemas unidimensionales de Stefan // Commun. número metanfetamina Ing.. - 2004. - Nº 20 . - Pág. 535-545.
Krasnoshlyk N. A., Bogatyryov A. O. Solución numérica de problemas con límites de interfase en movimiento // Boletín de la Universidad de Cherkasy. Ciclo “Matemáticas Aplicadas. informática". - 2011. - T. 194 . - S. 16-31 . (Ruso)

Notas

↑ N. A. Krasnoshlyk, A. O. Bogatyrev, 2011 .
↑ B. M. Budak, E. N. Solov'eva y A. B. Uspenskii, "Un método de diferencias con suavizado de coeficientes para resolver problemas de Stefan", Zh. Vychisl. Matemáticas. y estera físico - 1965. - V. 5. - N. 5. - S. 828-840
↑ Breslavsky P. V., Mazhukin V. I. Algoritmo para la solución numérica de la versión hidrodinámica del problema de Stefan utilizando cuadrículas de adaptación dinámica // Modelado matemático. - 1991. - T. 3:10 . — S. 104–115 . (Ruso)