Problema de límites

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 8 de enero de 2022; la verificación requiere 1 edición .

Un problema de valor límite (problema de valor límite) es el problema de encontrar una solución a una ecuación diferencial dada (sistema de ecuaciones diferenciales) que satisfaga las condiciones de límite (límite) en los extremos de un intervalo o en el límite de una región. Los problemas de valores en la frontera para ecuaciones hiperbólicas y parabólicas a menudo se denominan de frontera inicial o mixtos , porque especifican no solo la frontera, sino también las condiciones iniciales .

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones lineales de orden n

El problema de valores en la frontera para una ecuación lineal de orden n tiene la forma

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

dónde

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funciones y son continuas en el intervalo , , las condiciones de contorno vienen dadas por formas lineales $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

$\gamma_{\mu}$ se dan números. La matriz compuesta por coeficientes tiene rango , mientras que las condiciones de contorno son linealmente independientes . Si y , el problema del valor en la frontera se llama homogéneo , si sólo - semi - homogéneo . [una] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $metro$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \equiv 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Problema de valor propio

Los valores propios son aquellos valores del parámetropara los cuales el problema de valores en la frontera homogénea $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

tiene una solución no trivial (es decir, no idénticamente cero). El conjunto de valores propios se denomina espectro , y las soluciones no triviales correspondientes se denominan funciones propias de este problema.

Si es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación diferencial considerada tal que $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{matriz}\right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

entonces los autovalores son ceros del determinante característico ( determinante )

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Si , entonces el conjunto de valores propios es como máximo contable como el conjunto de ceros de una función completa . [2]

\Delta(\lambda) \no \equiv 0

Para el problema de valores propios en la frontera, se resuelven los siguientes dos problemas estándar:

El problema de encontrar valores propios . ¿Bajo qué supuestos sobre el problema del valor en la frontera tiene valores propios? ¿En qué caso su número es infinito? ¿Cuándo son válidos? ¿Qué se puede decir de su tamaño?
El problema de la expansión en funciones propias . Si son funciones propias del problema de valores en la frontera, entonces, ¿bajo qué condiciones se puede expandir la función dada en una serie convergente ? $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

por funcion ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

Un caso especial del problema de valores en la frontera para valores propios es el problema de Sturm-Liouville :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{matriz}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{matriz}}

Función de Green

Teorema 1. Si un problema homogéneo con valores en la frontera tiene solo una solución trivial (cero), entonces para cualquier función continua en el segmento , existe una solución para el problema semihomogéneo con valores en la frontera dada por la fórmula $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

donde es la función de Green de un problema homogéneo con valores en la frontera. [5] $G(x, \xi)$

Desde el punto de vista de la teoría de operadores , el problema del valor en la frontera define un operador diferencial lineal con un dominio de definición consistente en tiempos continuamente diferenciables en el intervalo de funciones que satisfacen las condiciones de frontera y actúan de acuerdo con la regla . Bajo las condiciones del Teorema 1, este operador tiene un inverso, que es un operador integral con kernel . $norte$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

La función de Green de un problema homogéneo con valores en la frontera se define como una función que satisface las siguientes condiciones: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ es continua y tiene derivadas continuas con respecto al -ésimo orden inclusive para todos los valores y del intervalo . $X$ $(n-2)$ $X$ $\xi$ $[a,b]$
Para cualquier fijo del segmento , la función tiene derivadas continuas de orden -ésimo y -ésimo con respecto a en cada uno de los intervalos y , y la derivada de orden -ésimo tiene un salto para . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $norte$ $X$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
En cada uno de los intervalos y , considerada en función de , satisface la ecuación y las condiciones de contorno . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $X$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

Teorema 2. Si un problema homogéneo con valores en la frontera tiene solo una solución trivial (cero), entonces tiene una función de Green única. [6]

Usando la función de Green, también se puede resolver el problema del valor límite no homogéneo

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.

La solución parece

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

¿ Dónde están las soluciones de los problemas de valores en la frontera? $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n .

[7]

Problema de valor límite con un parámetro

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

es equivalente a la ecuación integral de Fredholm de segunda especie:

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

dónde

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Los valores propios y las funciones propias del problema homogéneo de valores en la frontera correspondiente coinciden con los números característicos y las funciones propias del núcleo . [ocho] $G(x, \xi)$

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

El problema del valor en la frontera es encontrar un sistema de funciones que satisfaga el sistema de ecuaciones diferenciales lineales $u_1(x), u_2(x), \puntos, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \puntos, m,

y condiciones de contorno

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

donde son funciones continuas en el segmento , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \ le x \ le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

matriz

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{matriz}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\puntos &\beta _{1,n}\\\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\puntos \\\alpha _{n,1}&\puntos &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\puntos &\beta _{n,n}\\\end{matriz}}\right)

tiene rango , se les dan números. [9] $norte$ $\gamma_{\mu}$

Métodos numéricos de solución

La mayoría de los métodos numéricos para resolver problemas de valores en la frontera se han desarrollado para ecuaciones de segundo orden.

Método de disparo (reducción a cero) . Se resuelve el problema de Cauchy , en el que una de las condiciones iniciales coincide con la condición de frontera, y la segunda depende del parámetro. El valor del parámetro se elige de modo que la solución satisfaga la segunda condición de contorno. Para seleccionar un parámetro, puede utilizar, por ejemplo, el método de bisección o el método de Newton . [diez]
Método de disparo en paralelo . Es una generalización del método de tiro.
Método de diferencias finitas . Se construye una aproximación en diferencias finitas de la ecuación y las condiciones de contorno y se resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas lineales . [11] [12]
Métodos variacionales ( método de Ritz , método de Galerkin ). [13] [14] [15]
Método de ecuaciones integrales . El problema del valor límite se reemplaza con la función de Green por una ecuación integral , que se resuelve usando fórmulas de cuadratura . [dieciséis]
método de superposición . La solución al problema del valor en la frontera se encuentra como una combinación lineal de soluciones a varios problemas de Cauchy . [17]
Método de barrido (que no debe confundirse con el método de barrido para resolver sistemas tridiagonales de ecuaciones algebraicas lineales ). Solución del problema del valor en la frontera

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

satisface la ecuación diferencial

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

donde las funciones se encuentran como soluciones al problema de Cauchy $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Entonces se encuentra como solución a la ecuación (*) que satisface la condición inicial . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Aplicación

Los problemas de vibraciones longitudinales y torsionales de una barra elástica conducen a problemas de valores límite para una ecuación de segundo orden, mientras que el problema de vibraciones transversales de una barra conduce a una ecuación de cuarto orden. [1] Resolver ecuaciones diferenciales parciales utilizando el método de Fourier conduce al problema de encontrar valores propios y funciones propias de un problema de valores límite, así como expandir una función arbitraria en una serie en términos de funciones propias. [veinte]

Ecuaciones diferenciales parciales

Notación

Sea un dominio acotado con un límite uniforme a trozos , sea el vector normal al límite dirigido hacia fuera del dominio , sea la derivada a lo largo de la normal, . Las funciones satisfacen las condiciones: $GRAMO$ $\mathbb{R} ^{n}$ $S$ $norte$ $S$ $GRAMO$ $\frac{\u parcial}{\n parcial}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alfa, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Aquí , es la clausura del dominio , es el conjunto de funciones que son continuas en , y es el conjunto de funciones que son continuamente diferenciables en . $\bar G = G \taza S$ $GRAMO$ $C(\bar G)$ $\bar G$ $C^k(\bar G)$ $k$ $\bar G$

Ecuaciones de tipo hiperbólico

Un problema mixto (de frontera) para una ecuación de tipo hiperbólico es el problema de encontrar una función que satisfaga la ecuación $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\parcial^2 u}{\parcial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ cuádruple (x, t) \in Q_{\infty},

condiciones iniciales

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\u parcial}{\t parcial}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

y condición de frontera

\alpha u + \beta \frac{\u parcial}{\n parcial} |_{S} = 0.

Para que exista una solución es necesario que se cumplan las condiciones de suavidad

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

y la condición de consistencia

\alpha u_0 + \beta \frac{\u_0 parcial}{\n parcial} = 0

La solución del problema mixto es única y depende continuamente de . [21] $u_0, u_1, F$

Ecuaciones de tipo parabólico

Un problema mixto (de frontera) para una ecuación de tipo parabólico es encontrar una función que satisfaga la ecuación $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\u parcial}{\t parcial} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

condición inicial

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

y condición de frontera

\alpha u_0 + \beta \frac{\u parcial}{\n parcial} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

Para que exista una solución, son necesarias las siguientes condiciones de suavidad

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

y la condición de consistencia

\alpha u_0 + \beta \frac{\parcial u_0}{\parcial n}|_S = v(x, 0).

La solución del problema mixto es única y depende continuamente de . [22] $F, u_0, v$

Ecuaciones de tipo elíptico

Estudiamos los siguientes problemas de valores en la frontera para la ecuación de Laplace tridimensional

\Delta u=0

Sea el área tal que . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \barra invertida G$

Problema interno de Dirichlet : encontrar una función que sea armónica en el dominio y tome los valores dados ( continuos ) en la frontera . $GRAMO$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Problema externo de Dirichlet : encuentra una función armónica en el dominio que toma valores dados (continuos) y se anula en el infinito. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Problema interno de Neumann : encontrar una función que sea armónica en un dominio y tenga una derivada normal regular en uno dado (continuo) . $GRAMO$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Problema de Neumann exterior : encuentre una función armónica en el dominio que tenga una derivada normal regular (continua) dada y se anule en el infinito. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $tu_1^+$

Se plantean problemas similares de valores en la frontera para la ecuación de Poisson :

\Delta u = - f

La solución de los problemas de Dirichlet interior y exterior depende de forma única y continua de los datos de contorno. La solución del problema interno de Neumann se determina hasta una constante aditiva arbitraria. La solución del problema de Neumann exterior es única. [23]

Métodos de solución

Método de separación de variables [24] [25]
Método de propagación de ondas (para ecuaciones de tipo hiperbólico ) [26]
Método de la función de Green (para ecuaciones de tipo elíptico ) [27]
Métodos de diferencia . [28]
Métodos Variacionales . [29]
Método de elementos finitos .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , p. 187.
↑ Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , p. 193.
↑ Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , segunda parte, capítulo I, §2.
↑ Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales, 1969 , primera parte, capítulos I, II.
↑ Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales, 1969 , p. 40
↑ Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales, 1969 , p. 38-39.
↑ Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , p. 190.
↑ Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales, 1969 , p. 44.
↑ Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , p. 249.
↑ Kalitkin N. N. Métodos numéricos, 1978 , p. 262.
↑ Kalitkin N. N. Métodos numéricos, 1978 , p. 268.
↑ Berezin IS, Zhidkov N.P. Métodos computacionales, 1959 , p. 372.
↑ Kalitkin N. N. Métodos numéricos, 1978 , p. 276.
↑ Berezin IS, Zhidkov N.P. Métodos computacionales, 1959 , p. 391.
↑ Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, 1971 , p. 222.
↑ Na Ts. Métodos computacionales para resolver problemas de valores límite aplicados, 1982 , capítulo 12.
↑ Na Ts. Métodos computacionales para resolver problemas de valores límite aplicados, 1982 , capítulo 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Métodos computacionales, 1959 , capítulo 9, §9.
↑ Na Ts. Métodos computacionales para resolver problemas de límites aplicados, 1982 , capítulo 3.
↑ Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales, 1969 , p. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuaciones de física matemática, 1999 , p. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Métodos numéricos, 1989 , parte III.
↑ Berezin IS, Zhidkov N.P. Métodos computacionales, 1959 , capítulo 10, §9.

Literatura

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por. con ella .. - 4ª ed., corregida .. - M . : Nauka, Cap. edición física y matemáticas lit., 1971. - 576 p.
Naimark M. A. Operadores diferenciales lineales. - M. : Nauka, cap. edición Phys.-Math. iluminado, 1969.

Ecuaciones diferenciales parciales

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática: Libro de texto .. - 6.ª ed., Rev. y adicional .. - M . : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .

Métodos numéricos

Na Ts .Métodos computacionales para la resolución de problemas de frontera aplicados. Por. del inglés.- M . : Mir, 1982. - 286 p.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. Volumen II. - M. : Estado. Editorial de Física y Matemáticas, 1959.
Kalitkin N. N. Métodos numéricos. — M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Métodos numéricos: libro de texto para universidades. - M. : Ciencia, cap. edición Phys.-Math. lit., 1989. - 432 p. — ISBN 5-02-013996-3 .