Ley del cuadrado-cubo

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La ley del cuadrado - cubo es el siguiente principio:

si el objeto aumenta (disminuye) proporcionalmente (es decir, usando una transformación de similitud ) en tamaño, su nuevo volumen será proporcional al cubo del factor de escala, y su nueva superficie será proporcional al cuadrado:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell_{2}}{\ell_{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell_{2}}{\ell_{1}}}\right)^{2},

donde: es el volumen del objeto original, es el nuevo volumen, es el área de superficie del objeto original, es el nuevo área de superficie, es el tamaño lineal del objeto original y es el nuevo tamaño lineal. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

Por ejemplo, un cubo de 1 metro de lado tiene una superficie de 6 m² y un volumen de 1 m³. Si se duplica la longitud del lado , su superficie se cuadruplicará hasta los 24 m² y su volumen aumentará 8 veces hasta los 8 m³. Este principio se aplica a todos los cuerpos.

Esta ley encuentra su aplicación en la tecnología y la biomecánica y se basa en el recálculo matemático de las dimensiones. Fue demostrado por primera vez por Galileo Galilei en 1638 en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Conversaciones y pruebas matemáticas de dos nuevas ciencias ").

Técnica

Si un objeto físico aumenta de tamaño manteniendo la misma densidad del material del que está hecho, su masa aumentará en proporción al factor de aumento a la tercera potencia, mientras que su área de superficie aumentará en proporción al cuadrado de el factor de escala Esto significa, en particular, que si a un segmento de la superficie de un objeto agrandado se le da la misma aceleración que al original, se ejercerá más presión sobre la superficie del objeto agrandado .

Considere un ejemplo simple: un cuerpo con masa tiene una aceleración y un área de superficie , que se ve afectada por una fuerza con esta aceleración. La fuerza causada por la aceleración es , y la presión sobre la superficie es Ahora considere un objeto cuyas dimensiones se multiplican por un factor de modo que su nueva masa es , y la superficie sobre la que actúa la fuerza tiene una nueva área, . Entonces la nueva fuerza causada por la aceleración es igual a y la presión resultante sobre la superficie: $metro$ $a$ $S$ $F = ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $X$ $m'=x^{3}\cpunto m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{alineado}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{alineado}}

Así, con un aumento en el tamaño de un objeto manteniendo el mismo material del que está compuesto el objeto (y por lo tanto la densidad ) y la aceleración, la presión que produce sobre la superficie aumentará en el mismo factor. Esto muestra que cuando un objeto se agranda, su capacidad para resistir el estrés disminuirá y será más fácil destruirlo en el proceso de aceleración.

Esto explica por qué los vehículos grandes no se desempeñan bien en las pruebas de choque y por qué existen límites de altura para los edificios de gran altura. Del mismo modo, cuanto más grande es un objeto, menos otros objetos resistirán el movimiento, lo que hará que disminuya la velocidad.

Biomecánica

Si el tamaño de un animal aumenta significativamente, su fuerza muscular se verá seriamente reducida, ya que la sección transversal de sus músculos aumentará en proporción al cuadrado del factor de escala , mientras que su masa aumentará en proporción al cubo de este. factor. Como resultado, las funciones cardiovasculares están severamente limitadas. Por eso, por ejemplo, los insectos pueden levantar mucho más que su propio peso. Si los seres vivos voladores aumentan de tamaño, su carga alar debe aumentar y, por lo tanto, para mantener la misma sustentación , tendrán que aletear con mayor frecuencia . Esto no será fácil debido al hecho de que la fuerza de los músculos será menor. Esto también explica por qué un abejorro puede tener un tamaño corporal grande en comparación con la envergadura de sus alas, mientras que para un animal volador mucho más grande que un abejorro, esto sería imposible. Además, para los seres vivos de pequeño tamaño , la resistencia del aire por unidad de masa es alta, y por tanto no mueren al caer desde cualquier altura.

Además, el trabajo del sistema respiratorio de los insectos depende del tamaño de la superficie corporal. Con un aumento en el volumen del cuerpo, su superficie no podrá proporcionar respiración.

Por estas razones, los insectos, arañas y otros animales gigantes que se muestran en las películas de terror no son realistas, ya que un tamaño tan grande los asfixiaría y colapsaría. Los animales acuáticos gigantes ( gigantismo de aguas profundas ) son una excepción, ya que el agua es capaz de albergar criaturas bastante grandes [1] .

J. B. S. Haldane expresó la siguiente opinión sobre los gigantes [1] :

Supongamos que hay un hombre-gigante de 60 pies de altura, como el Papa y los Gigantes Paganos de los cuentos de hadas de mi infancia. Dichos gigantes no solo son 10 veces más altos que una persona promedio, sino 10 veces más anchos y 10 veces más densos, es decir, su peso total es 1000 veces el peso de una persona promedio y, por lo tanto, es de 80 a 90 toneladas. La sección transversal de los huesos de tales gigantes es 100 veces mayor que la sección de los huesos de una persona promedio; por lo tanto, cada pulgada cuadrada del hueso de un gigante debe soportar una carga 10 veces mayor que la pulgada cuadrada del hueso de un hombre promedio. Considerando que la tibia humana se rompe bajo una carga de 10 veces su peso, la tibia de los gigantes tendría que romperse a cada paso que dan. ¿No será por eso que en las fotos que aún recuerdo aparecen sentados?

Procesos térmicos

La ley del cuadrado-cubo también se aplica a los procesos térmicos: la superficie de intercambio de calor aumenta en proporción al cuadrado del tamaño y el volumen que contiene o genera calor aumenta en proporción al cubo. En consecuencia, la pérdida de calor por unidad de volumen de un objeto disminuye al aumentar su tamaño y, a la inversa, aumenta al disminuir el tamaño. Por lo tanto, por ejemplo, la energía requerida para calentar o enfriar una unidad de volumen de un almacén disminuye a medida que aumenta el tamaño del almacén.

En tecnología

La ley tiene una amplia aplicación en la tecnología. Por ejemplo, sirve como la razón por la que para crear aviones con el doble de carga útil, no tendría sentido simplemente duplicar proporcionalmente todos los tamaños de sus partes: la ley del cubo cuadrado impone la prohibición del escalado directo.

Coches eléctricos

Si asumimos que al escalar una máquina eléctrica , la densidad de corriente , la inducción magnética y la velocidad de rotación se conservan , entonces con un aumento en todas las dimensiones en un tiempo , la intensidad de la corriente será 2 veces mayor (proporcional al área de la sección transversal de los conductores). El flujo magnético también aumentará 2 veces ( en proporción al área de la sección transversal del circuito magnético ), por lo que la FEM inducida en los devanados también aumentará 2 veces.

Es decir, tanto la intensidad de la corriente como el voltaje (EMF) aumentarán 2 veces, por lo que la potencia eléctrica (igual al producto de la intensidad de la corriente y el voltaje) aumentará 4 veces. En este caso, las pérdidas de calor aumentarán solo 3 veces (en proporción al volumen de los conductores a una densidad de corriente constante).

Así, con un aumento en el tamaño de una máquina eléctrica, su potencia específica (por unidad de masa) aumenta proporcionalmente y la pérdida de calor específica (por unidad de masa) no cambia, lo que significa que la eficiencia aumenta . Al mismo tiempo, la eliminación de calor se vuelve más complicada, ya que el flujo de calor específico a través de todas las superficies aumenta proporcionalmente.

Todo esto es cierto para los transformadores (a una frecuencia de corriente constante ).

Motores de combustión interna

Si simplemente aumentamos todas las dimensiones del motor de combustión interna por un factor a una velocidad de rotación constante, entonces la masa de las partes móviles aumentará por un factor de 3 , y la aceleración con la que se mueven aumentará por un factor. Por lo tanto, todas las fuerzas de inercia[ aclarar ] aumentará 4 veces, y dado que el área de las superficies de fricción aumentará solo 2 veces, la carga específica sobre ellas aumentará 2 veces, lo que conducirá a su rápido desgaste. Además, la tasa de movimiento de los gases a través de las válvulas aumentará varias veces, lo que aumentará significativamente la resistencia dinámica del gas y empeorará el llenado de los cilindros.

Por lo tanto, con un aumento proporcional en el motor de combustión interna, es necesario reducir proporcionalmente la velocidad (manteniendo la velocidad promedio del pistón sin cambios). Entonces, la carga específica sobre las superficies de fricción y la velocidad de los gases a través de las válvulas permanecen sin cambios. Sin embargo, la potencia específica (por unidad de masa) y la potencia por litro se reducen proporcionalmente. Este “peso” del motor se puede resolver aumentando el número de cilindros, pero esto complica su diseño.

Construcción naval

Aproximadamente, podemos suponer que la resistencia al movimiento de la embarcación (a una velocidad constante) es proporcional al área de la sección transversal del casco en medio del barco . Por lo tanto, con un aumento en todas las dimensiones del recipiente en un tiempo, su masa aumentará en 3 veces , y la resistencia al movimiento solo aumentará en 2 veces. En consecuencia, en términos de consumo de combustible por unidad de masa, los buques más grandes son más económicos. Además, si la proporción de reservas de combustible en la masa total del barco no cambia, entonces el rango de crucero sin reabastecimiento de combustible también aumentará varias veces .

Por la misma razón, la eficiencia de combustible y la autonomía de vuelo de los dirigibles crecen en proporción a su tamaño (a diferencia de los aviones , en los que estos parámetros están determinados principalmente por su calidad aerodinámica ).

Para un velero , la resistencia al momento de zozobra creado por las velas es importante . Con un aumento en todas las dimensiones de la embarcación en un tiempo, el área de las velas aumentará en 2 veces , y el momento de vuelco de la fuerza creado por ellos aumentará en 3 veces (ya que el brazo de la fuerza también aumentan en un tiempo). Al mismo tiempo, el momento que iguala el balanceo y surge debido al casco durante el balanceo se incrementará en 4 veces (la masa del casco y el agua desplazada se incrementará en 3 veces , mientras que el brazo de fuerza aumentar en un tiempo). Por lo tanto, a escala geométrica simple, los veleros grandes son más resistentes a la escora creada por el momento de la vela. Por este motivo, los grandes veleros no necesitan las desarrolladas quillas de lastre típicas de los pequeños veleros . Por otro lado, en un barco más grande, si el diseño se mantiene igual, es posible colocar velas de un área desproporcionadamente mayor y, en consecuencia, obtener un aumento en la velocidad.

Véase también

Notas

↑ 1 2 J. B. S. Haldane Sobre la conveniencia del tamaño Archivado el 22 de mayo de 2021 en Wayback Machine .

Enlaces

Wayne Throop. Saurópodos, elefantes, levantadores de pesas: cuestiones diversas .
"Constructores de mundos: los límites del tamaño de los animales: relación tamaño-volumen" . (Inglés)
Michael C. La Barbera. "La biología de los monstruos de las películas B "