Carga (teoría de la medida)

La carga es una función de conjunto finitamente aditiva de valor real definida en algún álgebra (por ejemplo, subconjuntos de Borel ). $\sigma$

A diferencia de la medida habitual, que suele entenderse como una función de conjunto no negativa, la carga también puede tomar valores negativos.

El conjunto de todas las cargas sobre un conjunto arbitrario con un sigma-álgebra generalmente se denota por . $X$ $\Sigma$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ba} (X, \; \ Sigma)}$

Definiciones relacionadas

Una carga positiva se llama puramente finitamente aditiva si para cualquier medida contablemente aditiva no negativa se sigue que . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant\mu\leqslant\nu$ $\mu=0$
- Una carga arbitraria es puramente finitamente aditiva si tales son las cargas y . ${\ estilo de visualización \nu ^{+}}$ ${\ estilo de visualización \nu ^{-}}$
Una carga es absolutamente continua con respecto a una medida si $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma)(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Propiedades

El conjunto de todas las cargas forma una red normalizada e incluso, además, un -espacio. $k$
Para cualquier carga hay una parte positiva y una parte negativa . Existe una expansión de Hahn-Jordan , en virtud de la cual las propiedades de las cargas pueden expresarse en términos de la teoría de la medida. $\nu$ ${\ estilo de visualización \ nu ^ {+} \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización \nu ^{-}\leqslant 0}$ ${\ estilo de visualización \nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}}$
deja _ Cualquier carga puede representarse únicamente como una suma , donde es absolutamente continua con respecto a y disyuntiva . Tal representación de la medida se llama expansión de Lebesgue. $\mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ ${\ estilo de visualización \ nu = \ nu _ {1} + \ nu _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {1}}$ $\mu$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {2}}$ $\mu$ $\nu$
Cualquier carga se puede representar de forma única como una suma , donde es una medida aditiva numerable arbitraria y es una carga aditiva puramente finitamente arbitraria. Esta descomposición a veces se denomina descomposición de Yosida-Hewitt . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ ${\ estilo de visualización \ nu = \ nu _ {ca} + \ nu _ {pfa}}$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {ca}}$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {pfa}}$
El espacio es topológicamente conjugado con el espacio de funciones medibles y acotadas definidas sobre el espacio medible dado. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ba} (X, \; \ Sigma)}$

Historia

El término "carga" fue introducido por primera vez por A. D. Alexandrov . El estudio de la carga fue el impulso para el desarrollo de la teoría de la medida finitamente aditiva (década de 1940).

Véase también

Teorema de

Literatura

Dunford N., Schwartz J. Operadores lineales. Teoría general. — M. : IL, 1962.
Landkof N. S. Fundamentos de la teoría potencial moderna. - M. , 1966.
Khalmosh P. Teoría de las medidas. // Por. De inglés. - M. , 1953.
Alexandroff AD Funciones de conjuntos aditivos en espacios abstractos I // Matemáticas. colección 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Funciones de conjuntos aditivos en espacios abstractos II // Matemáticas. colección 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Funciones de conjuntos aditivos en espacios abstractos III // Matemáticas. colección 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Medidas finitamente aditivas // Trans. amer Matemáticas. soc. 1952. v. 72, N° 1. Págs. 46-66.