Ideal de semigrupo

El ideal de un semigrupo es un subconjunto del semigrupo que se cierra bajo la multiplicación por elementos de , donde la multiplicación se entiende como una operación algebraica sobre un semigrupo. ${\ estilo de visualización yo}$ $S$ $S$

Definición

Un subconjunto no vacío de un semigrupo se llama ideal izquierdo si: , donde es el conjunto de productos de elementos y . ${\ estilo de visualización yo}$ $S$ $S$ $SI\subconjunto I$ ${\ estilo de visualización SI}$ $si$ $S \ en S$ $yo en yo$

${\ estilo de visualización yo}$ se llama ideal recto si: . $ES\subconjunto I$

${\ estilo de visualización yo}$ se llama un ideal de dos colas si se cumplen estas dos condiciones. También llamado simplemente un ideal si es un ideal izquierdo o derecho ${\ estilo de visualización yo}$ $S$ .

En un semigrupo arbitrario , para cualquier subconjunto no vacío , el producto es un ideal derecho, un ideal izquierdo y un ideal bilateral. $S$ $R\subconjunto S$ $RS$ $SR$ $SRS$

Los ideales triviales que tiene cualquier semigrupo son el conjunto formado por el elemento cero del semigrupo (si lo hay) y el semigrupo completo.

Ejemplos

El conjunto de los números pares forma un ideal bilateral del semigrupo de los números naturales con respecto a la operación de multiplicación . Esto se sigue del hecho de que un número par multiplicado por cualquier otro será par. ${\ estilo de visualización (\ mathbb {N}, \ cdot)}$

El conjunto de funciones constantes es un ideal bilateral del semigrupo de todas las funciones reales con respecto a la operación de composición : $F$

Sea el conjunto de todas las funciones constantes (es decir, para cualquier , el valor no depende de ).

C

c\en C

c(x)

x\in \mathbb {R}

Para que un conjunto sea un ideal de dos colas , debe ser tanto un ideal de mano izquierda como de mano derecha .

C

F

F

$C$ es un ideal zurdo , ya que $F$ $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$
$C$ es un ideal diestro, ya que $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

Sea un subconjunto de todas las funciones periódicas. $S$
1. $S$ es un ideal izquierdo con respecto a la superposición. El conjunto de valores de una función periódica es una sucesión periódica ( , donde es el periodo de la función), es obvio que una función de sucesión periódica es una función periódica: $F$ ${\ estilo de visualización s (x) = s (x + T)}$ $T$ $f(s(x))=f(s(x+T))\Rightarrow \forall f\in F,\forall s\in S:fs\subset S$
2. Pero no es un ideal correcto. Para ver esto, basta dar un ejemplo donde hay tales y , que la condición no se cumple. Tomemos las funciones: , , cuya superposición dará como resultado una función no periódica . $S$ ${\ estilo de visualización f \ en F}$ $S \ en S$ ${\ estilo de visualización sf \ en S}$ ${\ Displaystyle pecado (x) \ en S}$ ${\ estilo de visualización x ^ {2} \ en F}$ ${\ Displaystyle sin (x^{2})}$

Sea un semigrupo de todas las matrices cuadradas de orden con respecto a la operación de multiplicación , entonces el conjunto formado por matrices en las que todos los elementos de una columna fija son iguales forma un ideal izquierdo. ${\ estilo de visualización (\ mathrm {K}, \ cdot)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 0}$

Sea el conjunto de todas las matrices degeneradas . Entonces , un ideal de dos caras , ya que el producto de una matriz degenerada por cualquier otra será una matriz degenerada. $D$ $D$ ${\ estilo de visualización (\ mathrm {K}, \ cdot)}$

Ideales principales de semigrupos

El ideal principal (izquierdo, derecho, de dos lados) del semigrupogenerado por el elementoes el ideal más pequeño (respectivamente, izquierdo, derecho, de dos lados) que contieneLos ideales principales izquierdo, derecho y de dos lados se pueden escribir como: $S$ $\alfa$ $\alfa$

L=S\alfa \taza \alfa

R=\alfa S\taza \alfa

D=S\alpha S\cup \alpha S\cup S\alpha \cup \alpha

Si hay un elemento neutral en el semigrupo , entonces los principales ideales de dos lados izquierdo, derecho, respectivamente, toman la forma: $mi$

L

{\ estilo de visualización S \ alfa}

R

{\ estilo de visualización \ alfa S}

D

{\ estilo de visualización S \ alfa S}

Destaquemos algunos ideales principales de los ejemplos anteriores:

1) El conjunto de los números pares es el principal ideal bilateral del semigrupo . Como cada elemento del conjunto se representa como 2 , entonces su elemento generador es 2. $yo$ ${\ estilo de visualización (N, \ cdot)}$ $yo$ $k$

2) Se demuestra que el conjunto de funciones constantes es un ideal bilateral del semigrupo de todas las funciones reales con respecto a la superposición. Tomemos alguna función constante como elemento generador. Entonces el conjunto de la forma genera el conjunto , ya que cubre todas las funciones reales posibles (basta con tomar el conjunto de funciones de la forma = + , donde ) de donde se sigue que es el ideal izquierdo principal. Sin embargo, no genera , y por tanto no es un derecho principal ideal. $C$ $F$ $c(x)$ ${\ estilo de visualización Fc}$ $C$ $f(x)$ $X$ $r$ $r$ $\en$ $R$ $C$ ${\ estilo de visualización cF}$ $C$ $C$

Literatura

E. S. Lyapin, “Semigrupos”, 1960