Matriz singular

Una matriz degenerada (sinónimos: matriz singular , matriz singular , matriz singular ) es una matriz cuadrada cuyo determinante es cero. $A,$ $\det(A)$

Condiciones de degeneración equivalentes

Usando varias nociones de álgebra lineal , se pueden dar varias condiciones de degeneración:

Las filas o columnas de una matriz son linealmente dependientes . En un caso especial, si una matriz degenerada tiene al menos dos filas (o dos columnas) que satisfacen la condición donde a es un escalar , entonces la matriz será degenerada. Esto implica el caso trivial de que cualquier matriz cuadrada que contenga una columna o fila cero es degenerada. ${\ Displaystyle {\ bf {{x}_{i}}}}$ ${\ estilo de visualización {\ bf {{x}_ {j},}}}$ $a{\bf {{x}_{i}={\bf {{x}_{j},}}}}$
Una matriz cuadrada es degenerada si y solo si existe un vector distinto de cero tal que En otras palabras, el operador lineal correspondiente a la matriz en la base estándar tiene un núcleo distinto de cero . $A$ $X,$ $Ax=0.$
Una matriz cuadrada es degenerada si y solo si tiene al menos un valor propio cero.Esto se deduce de la ecuación que todos los valores propios de la matriz satisfacen: (donde E es la matriz identidad ), y también del hecho de que el determinante de una matriz es igual al producto de sus valores propios. $A$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 0.}$ $\det(A-\lambda E)=0$

Propiedades

Una matriz degenerada no tiene una matriz inversa estándar . Al mismo tiempo, una matriz degenerada tiene una matriz pseudo-inversa (matriz inversa generalizada) o incluso un número infinito de ellas.
El rango de una matriz degenerada es menor que su tamaño (número de filas).
El producto de una matriz degenerada y cualquier matriz cuadrada del mismo tamaño da una matriz degenerada. Esto se sigue de la propiedad Una matriz degenerada elevada a cualquier potencia entera positiva permanece degenerada. El producto de cualquier número de matrices es degenerado si y solo si al menos uno de los factores es degenerado. El producto de matrices no degeneradas no puede ser degenerado. ${\ estilo de visualización \ det (AB) = \ det (A) \ cdot \ det (B).}$
La transposición de una matriz degenerada la deja degenerada (porque la transposición no cambia el determinante de la matriz, ). ${\ estilo de visualización \ det (A^{T}) = \ det (A)}$
Multiplicar una matriz degenerada por un escalar la deja degenerada (porque , donde n es el tamaño de la matriz degenerada A , α es un escalar). ${\ estilo de visualización \ det (\ alfa A) = \ alfa ^ {n} \ det (A) = 0}$
La matriz conjugada hermitiana de una matriz degenerada es degenerada (porque el determinante de la matriz conjugada hermitiana es conjugado complejo al determinante de la matriz original y por lo tanto es igual a cero).
La matriz de unión (mutua, adjunta) de una matriz degenerada es degenerada (esto se deriva de la propiedad de las matrices de unión ). El producto de una matriz degenerada y su matriz aliada da una matriz cero : ya que para una matriz cuadrada arbitraria ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1))$ $A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=0,$ $A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot E.$
Una matriz triangular (y, en particular, diagonal ) es degenerada si y solo si al menos uno de sus elementos en la diagonal principal es cero. Esto se deriva del hecho de que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
Si la matriz A es degenerada, entonces el sistema de ecuaciones tiene soluciones distintas de cero. $Hacha=0$
Permutando las filas o columnas de una matriz degenerada se obtiene una matriz degenerada.
Una matriz degenerada, vista como un operador lineal , asigna un espacio vectorial a su subespacio de menor dimensión.

Casos especiales

Las matrices degeneradas son, en particular:

matriz cero (que consta de solo ceros);
matriz de unos (que consta de sólo unos) con tamaño n > 1 ;
matrices nilpotentes (matrices, cualquier potencia natural de las cuales es una matriz cero);
- matrices de desplazamiento (un subconjunto de matrices nilpotentes);
matriz de Vandermonde , si al menos dos de sus parámetros son iguales;
Matrices de Gell-Mann en representación estándar (excepto para λ 8 );
La matriz de Kirchhoff (también conocida como matriz de Laplace) es una representación matricial de un gráfico.

Véase también

Literatura

Gantmakher, F. R. Teoría de la matriz. - 2ª ed. -M.:Nauka, 1966. (Ruso)
Lancaster, P. Teoría de la matriz . — M .: Nauka , 1973. (Ruso)