Grupo inverso

Un grupo inverso es una construcción en la teoría de grupos que intercambia los argumentos de una operación de grupo binario, utilizada para determinar la acción correcta . Para un grupo dado, se construye como un grupo con el mismo conjunto de elementos, pero con un producto definido por la regla . $G=(G,\cdot)$ $G^{op}=(G, {*})$ ${*}$ $g * h := h \cdot g$

El grupo inverso de un grupo abeliano es igual a sí mismo. El grupo inverso de cualquier grupo es isomorfo a él: un isomorfismo es, por ejemplo, ; además, cualquier antiautomorfismo (un mapeo uno a uno de un grupo sobre sí mismo que satisface la relación ) genera el isomorfismo correspondiente : $g\mapsto g^{-1}$ $\psi: G \a G$ ${\ estilo de visualización \ psi (a \ cdot b) = \ psi (b) \ cdot \ psi (a)}$ $\varphi: G \to G^{op}$

\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \ varfi(b)

Si se da la acción derecha de un grupo sobre un objeto de alguna categoría: , entonces , definida como (o ), es una acción izquierda. $GRAMO$ $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ $g^{op}x = xg$

Con una definición categórica de un grupo, el grupo inverso se convierte en un caso especial de la categoría dual .

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ª ed.- Moscú: Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .