Teoría de categorías

La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las relaciones entre objetos matemáticos que no dependen de la estructura interna de los objetos.

La teoría de categorías es fundamental para las matemáticas modernas [1] , y también ha encontrado aplicaciones en la informática [2] , la lógica [3] y la física teórica [4] [5] . La exposición moderna de la geometría algebraica y el álgebra homológica se basa esencialmente en los conceptos de la teoría de categorías. Los conceptos de categorías generales también se utilizan activamente en el lenguaje de programación funcional Haskell [6] .

Definición

La categoría es: ${\ matemáticas {C}}$

clase de objeto ; ${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} _ {\ mathcal {C}}}$
para cada par de objetos , se da un conjunto de morfismos (o flechas) , y cada morfismo corresponde a los únicos y ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
para un par de morfismos y se define la composición ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
para cada objeto , se da el morfismo de identidad ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

y se cumplen dos axiomas :

la operación de composición es asociativa : y $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
el morfismo de identidad actúa trivialmente: para $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Categoría pequeña

Una clase de objetos no es necesariamente un conjunto en el sentido de la teoría axiomática de conjuntos . Una categoría en la que es un conjunto y (el conjunto de todos los morfismos de la categoría) es un conjunto se llama pequeño . Además, es posible (con una ligera corrección de la definición) considerar categorías en las que los morfismos entre dos objetos cualesquiera también forman una clase o incluso una estructura mayor [7] . En esta variante de la definición, se dice que una categoría en la que los morfismos entre dos objetos fijos forman un conjunto es localmente pequeña . ${\ matemáticas {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} _ {\ mathcal {C}}}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Ejemplos de categorías

Conjunto es una categoría de conjuntos . Los objetos en esta categoría son conjuntos , los morfismos son mapeos de conjuntos.
Grp es una categoría de grupos . Los objetos son grupos, los morfismos son aplicaciones que conservan la estructura del grupo ( homomorfismos de grupo ).
Vect K es la categoría de espacios vectoriales sobre el campo K . Los morfismos son aplicaciones lineales .
Categoría de módulos .

Las categorías para otros sistemas algebraicos se definen de manera similar .

Top es una categoría de espacios topológicos . Los morfismos son mapeos continuos .
Para cualquier poset, uno puede construir una pequeña categoría cuyos objetos son los elementos del conjunto , y entre los elementos x e y hay un único morfismo si y solo si x ≤ y (por supuesto, esta categoría debe distinguirse de la categoría de conjuntos parcialmente ordenados!).
Met es una categoría cuyos objetos son espacios métricos y cuyos morfismos son mapeos cortos .

Diagramas conmutativos

Los diagramas conmutativos son la forma estándar de describir los enunciados de la teoría de categorías . Un diagrama conmutativo es un grafo dirigido con objetos en sus vértices y morfismos como flechas , y el resultado de la composición de las flechas no depende del camino elegido. Por ejemplo, los axiomas de la teoría de categorías (asociación de composición y propiedad de morfismo de identidad) se pueden escribir usando diagramas:

Dualidad

Para una categoría , puede definir una categoría dual , en la que: ${\ matemáticas {C}}$ ${\ matemáticas {C}}^{{op}}$

los objetos coinciden con los objetos de la categoría original;
los morfismos se obtienen "invirtiendo las flechas": ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

El principio de dualidad establece que para cualquier enunciado de la teoría de categorías es posible formular un enunciado dual utilizando la inversión de las flechas, mientras que la verdad del enunciado no cambia. A menudo, un concepto dual se denota con el mismo término con el prefijo co- (ver ejemplos a continuación).

Definiciones básicas y propiedades

Isomorfismo, endomorfismo, automorfismo

Un morfismo se llama isomorfismo si existe un morfismo tal que y . Dos objetos entre los cuales hay un isomorfismo se dice que son isomorfos . En particular, el morfismo de identidad es un isomorfismo, por lo que cualquier objeto es isomorfo a sí mismo. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Los morfismos en los que el principio y el final coinciden se denominan endomorfismos . El conjunto de endomorfismos es un monoide con respecto a la operación de composición con el elemento identidad . ${\mathrm {Fin}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {id} _ {A}}$

Los endomorfismos que también son isomorfismos se llaman automorfismos . Los automorfismos de cualquier objeto forman un grupo de automorfismos por composición. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfismo, epimorfismo, bimorfismo

Un monomorfismo es un morfismotal que para cualquieradeellos se sigue que. La composición de los monomorfismos es un monomorfismo. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\círculo g_{1}=f\círculo g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

Un epimorfismo es un morfismotal que para cualquieradesiguientes. La composición de los epimorfismos es un epimorfismo. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

Un bimorfismo es un morfismo que es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo. Todo isomorfismo es un bimorfismo, pero no todo bimorfismo es un isomorfismo.

El monomorfismo, el epimorfismo y el bimorfismo son generalizaciones de los conceptos de mapeo inyectivo , sobreyectivo y biyectivo , respectivamente. Cualquier isomorfismo es un monomorfismo y un epimorfismo; lo contrario, en términos generales, no es cierto para todas las categorías.

Objetos iniciales y terminales

El objeto inicial (inicial, universalmente repulsivo) de una categoría es un objeto a partir del cual existe un único morfismo para cualquier objeto de la categoría.

Si existen objetos iniciales en una categoría, entonces todos son isomorfos.

De manera dual, se define un objeto terminal o que atrae universalmente : este es un objeto para el cual de cualquier objeto de la categoría hay un único morfismo.

Un objeto de categoría se llama nulo si es tanto inicial como terminal.

Ejemplo: en la categoría Conjunto , el objeto inicial es un conjunto vacío , el objeto terminal es cualquier conjunto de un elemento .

\varnada

\{\cdot \}

Ejemplo: hay un objeto nulo en la categoría Grp : este es un grupo de un elemento.

Producto y suma de objetos

El producto (par) de los objetos A y B es un objetocon morfismosytal que para cualquier objetocon morfismosyhay un único morfismotal que el diagrama que se muestra a la derecha es conmutativo. Los morfismossellaman proyecciones . $A\veces B$ $p_{1}:A\veces B\a A$ $p_{2}:A\veces B\a B$ $C$ $f_{1}:C\a$ $f_{2}:C\a B$ $g:C\a\veces B$ $p_{1}:A\veces B\a A$ $p_{2}:A\veces B\a B$

La suma o coproducto de objetos y se define dualmente . Los morfismos correspondientes se denominan incrustaciones . A pesar de su nombre, en general pueden no ser monomorfismos . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\to A+B$ $\imath _{B}:B\a A+B$

Si existe un producto y un coproducto, entonces están determinados unívocamente hasta el isomorfismo.

Ejemplo: En la categoría Conjunto , el producto de A y B es un producto directo en el sentido de la teoría de conjuntos , y la suma es una unión disjunta .

A\veces B

A \sqcup B

Ejemplo: En la categoría Anillo , la suma es el producto tensorial y el producto es la suma directa de los anillos .

A veces B

A \ o más B

Ejemplo: En la categoría Vect K (finito) el producto y la suma son isomorfos - esta es la suma directa de espacios vectoriales .

A \ o más B

Es fácil definir el producto de cualquier familia de objetos de manera similar . Los productos infinitos son generalmente mucho más complicados que los productos finitos. Por ejemplo, mientras que los productos y coproductos finitos en Vect K son isomorfos a las sumas directas, los productos y coproductos infinitos no son isomorfos. Los elementos de un producto infinito son secuencias infinitas arbitrarias de elementos , mientras que los elementos de un coproducto infinito son secuencias en las que solo un número finito de términos son distintos de cero. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\en V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funtores

Los funtores son asignaciones de categorías que preservan la estructura. Más precisamente,

Un funtor (covariante) asocia cada objeto de categoría con un objeto de categoría y cada morfismo con un morfismo tal que ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\a B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id}_{A})=\mathrm {id}_{F(A)))$ y
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Un funtor contravariante , o cofuntor , puede entenderse como un funtor covariante from to (o from to ), es decir, "un funtor que invierte las flechas". Es decir, asocia con cada morfismo el morfismo , y la regla de composición se invierte en consecuencia: . ${\ matemáticas {C}}$ ${\ matemáticas {D}}^{{op}}$ ${\ matemáticas {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\a B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$

Transformaciones naturales

La noción de transformación natural expresa la relación entre dos funtores. Los funtores a menudo describen "construcciones naturales", en este sentido, las transformaciones naturales describen "morfismos naturales" de tales construcciones.

Si y son funtores covariantes de la categoría a , entonces la transformación natural asigna a cada objeto de la categoría un morfismo de tal forma que para cualquier morfismo de la categoría el siguiente diagrama es conmutativo: $F$ $GRAMO$ $C$ $D$ $\eta$ $X$ $C$ $\eta_X: F(X)\to G(X)$ $f:X\a Y$ $C$

Se dice que dos funtores son naturalmente isomorfos si existe una transformación natural entre ellos tal que sea un isomorfismo para cualquier . $\eta _{X}$ $X$

Algunos tipos de categorías

Véase también

Notas

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodín, 2010 .
↑ Ivánov .
↑ Teoría de categorías en Haskell .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos Archivado el 25 de marzo de 2010 en Wayback Machine , - Nueva York: John Wiley and Sons, - 1990.

Enlaces

"Teoría de categorías" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford (inglés) .
Yo Ivanov. ¿Los físicos necesitan la teoría de categorías? . Elementos (10 de septiembre de 2008). (Ruso)
Teoría de categorías en Haskell . Consultado el 13 de marzo de 2011. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2011.

Literatura

S. Maclane [Maclane S.] Categorías para el matemático en activo . - Moscú: Fizmatlit, 2004. (Ruso)
S. Maclane [Maclane S.] Homología . - Moscú: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruso)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Categorías . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Resultados de la ciencia y la tecnología, Álgebra-Topología-Geometría). (Ruso)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Conferencias sobre teoría de categorías . - Moscú: Nauka , 1970. (Ruso)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Fundamentos de la teoría de categorías . - Moscú: Nauka , 1974. (Ruso)
Bucur I., Deleanu A. Introducción a la teoría de categorías y funtores . - Moscú: Mir , 1972. - S. 259. (Ruso)
Faith [Faith C.] volumen 1 // Álgebra - anillos, módulos y categorías . - Moscú: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruso)
Faith [Faith C.] volumen 2 // Álgebra - anillos, módulos y categorías . - Moscú: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruso)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Categorías de cocientes y teoría de la homotopía . - Moscú: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruso)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - análisis categórico de la lógica . - 1983. - T. 98. - ( Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas ). (Ruso)
Fulton E, MacPherson R. Aproximación categórica al estudio de espacios con singularidades / ed. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Nuevo en ciencias extranjeras, matemáticas ). (Ruso)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. Álgebra general . - Moscú: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 p. - ( Nuevo en ciencias extranjeras, matemáticas ). — 25.500 copias. — ISBN 5-02-014427-4 . (Ruso)
DE Rydeheard, RM Burstall. Teoría de categorías computacionales . - Nueva York: Prentice Hall, 1988. - 257 p. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya. Conferencias sobre análisis funcional . - Moscú: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Ruso)
R. Goldblatt. Topoi. Análisis categórico de la lógica = Topoi. El análisis categorial de la lógica . - Moscú: Mir , 1983. - 488 p. (Ruso)
Rodin A. V. Teoría de categorías y la búsqueda de nuevos fundamentos matemáticos de la física // Cuestiones de filosofía . - 2010. - Nº 7 . - art. 67 .

ramas de las matematicas

Portal "Ciencia"

fundamentos de las matematicas teoría de conjuntos lógica matemática álgebra de la lógica

Teoría de números ( aritmética )

Álgebra
Álgebra elemental	Solución de ecuación
Álgebra lineal	Cálculo vectorial matrices cálculo tensorial Álgebra multilineal
álgebra general	Álgebra conmutativa Teoría de la representación Álgebra diferencial Álgebra homológica Álgebra Universal Teoría de categorías

Análisis
Análisis clásico	Calculo diferencial Cálculo integral
teoría de funciones	Análisis armónico Análisis de cuaterniones Análisis complejo teoría de la medida Teoría de funciones de variable real análisis funcional Cálculo de variaciones
Ecuaciones diferenciales e integrales	Sistemas dinámicos y teoría ergódica Ecuaciones diferenciales común en derivadas parciales Ecuaciones Integrales
Análisis vectorial Análisis Global teoría de la catástrofe Análisis personalizado Análisis infinitesimal suave

Geometría y topología
Geometría	geometría algebraica Geometría analítica Geometría euclidiana Geometría no euclidiana Planimetría estereometría
Topología	Topología general topología algebraica Geometría diferencial y topología

Matemáticas discretas
combinatoria Teoría de grafos

Matemáticas Aplicadas
física matemática química matemática biología matemática Estadísticas matemáticas Modelado matemático Teoría de Algoritmos Métodos numéricos economía matemática matemáticas financieras Teoría de probabilidad La investigación de operaciones Teoría de juego

Portal "Matemáticas"
Categoría "Matemáticas"