Integral de jackson

La integral de Jackson en la teoría de funciones especiales refleja la operación inversa de q-derivación .

La integral de Jackson fue presentada por Frank Hilton Jackson.

Definición

Sea una función de una variable real . La integral de Jackson para se define como la siguiente serie: $f(x)$ $X$ $F$

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty}q^{k} f(q^{k}x).

Si es otra función y significa su derivada, se puede escribir formalmente: $g(x)$ ${\ Displaystyle D_ {q} g}$ $q$

\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\ infinito }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q ^{k}x}},

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\ cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

El resultado es un análogo de la integral de Riemann-Stieltjes . $q$

La integral de Jackson como derivada q

Así como la antiderivada habitual de una aplicación continua puede representarse mediante la integral de Riemann , la integral de Jackson proporciona una antiderivada q única para alguna clase de funciones (véanse los artículos de Kempf y Majid [1] ).

Teorema

Si asumimos que y si el valor está acotado en el intervalo para algunos , entonces la integral de Jackson converge a una función en , que es la q -derivada de . Además, es continua en c y es una función antiderivada en esta clase de funciones [2] . $0<q<1$ ${\ estilo de visualización | f (x) x ^ {\ alfa} |}$ ${\ estilo de visualización [0, A)}$ ${\ estilo de visualización 0 \ leqslant \ alfa <1,}$ $F(x)$ ${\ estilo de visualización [0, A)}$ $f(x)$ $F(x)$ $x=0$ $F(0)=0$ $f(x)$

Notas

↑ Kempf, Majid, 1994 , pág. 6802.
↑ Kac, Cheung, 2002 , pág. Teorema 19.1.

Literatura

Víctor Kac, Pokman Cheung. Cálculo Cuántico. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Jackson FH Una generalización de las funciones Γ(n) y x n // Proc. R. Soc. - 1904. - T. 74 . — S. 64–72 .
Jackson FH Sobre integrales q-definidas // QJ Pure Appl. Matemáticas.. - 1910. - T. 41 . — S. 193–203 .
Q-integración algebraica y teoría de Fourier sobre espacios cuánticos y trenzados // J. Math. Phys.. - 1994. - Edición. 35 . - S. 6802 . -doi : 10.1063/ 1.530644 .
Kempf A., Majid S. Integración q algebraica y teoría de Fourier sobre espacios cuánticos y trenzados, versión arxiv . Consultado: 24 de abril de 2015. (indefinido)