Ecuación integral de Volterra

La ecuación integral de Volterra (la ortografía de la ecuación integral de Volterra [1] también es común ) es un tipo especial de ecuaciones integrales . Propuesto por el matemático italiano Vito Volterra y posteriormente estudiado por Traian Lalescu en Sur les équations de Volterra , escrito en 1908 bajo la dirección de Émile Picard . En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales. Las ecuaciones se utilizan en demografía, el estudio de materiales viscoelásticos, en matemáticas de seguros a través de la ecuación de recuperación.

Estas ecuaciones se dividen en dos tipos.

Ecuación lineal de Volterra de primera especie:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

donde es una función dada y es una función desconocida. $F$ $X$

Ecuación lineal de Volterra de segunda especie:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

En la teoría de operadores y en la teoría de Fredholm , las ecuaciones correspondientes se denominan operador de Volterra .

La función en la integral a menudo se llama núcleo . Tales ecuaciones se pueden analizar y resolver utilizando el método de Laplace. $k$

Ecuaciones con núcleo homogéneo

Primer tipo

f(t)=\int_{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

La solución se basa en la transformada de Laplace . Realizando la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación y denotándola con una tilde:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

De este modo,

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Si para funciones tienden a respectivamente, entonces para función grande . Esto significa que hay que hacer una contribución funcional. Por lo tanto, la solución parece ${\ estilo de visualización t \ a 0}$ ${\ Displaystyle K (t), f (t)}$ ${\displaystyle K_{0},f_{0))$ $pags$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\derecha)

Segundo tipo

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Un razonamiento similar conduce al hecho de que

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Aquí no se plantea el caso de la incertidumbre y

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)

Notas

↑ Verzhbitsky M.V. Métodos numéricos (análisis matemático y ecuaciones diferenciales ordinarias). Guía de estudio . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 p. — ISBN 9785445838760 .