Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon
La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon se utiliza para reconstruir una señal continua con un espectro limitado a partir de una secuencia de muestras igualmente espaciadas.
La fórmula de interpolación, como suele llamarse, se remonta al trabajo de Émile Borel , fechado en 1898, y al trabajo de Edmund Whittaker , fechado en 1915. La fórmula de interpolación fue citada del trabajo del hijo de Edmund Whittaker, John McNaten Whittaker, con fecha de 1935, en la forma del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon en 1949, el autor del editorial fue Claude Shannon , antes de Shannon este teorema fue formulado por Kotelnikov . Además, la fórmula de interpolación suele denominarse fórmula de interpolación de Shannon o fórmula de interpolación de Whittaker .
El teorema de muestreo establece que, bajo ciertas condiciones límite , una función puede reconstruirse a partir de su discretización , según la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon :
![{\ estilo de visualización x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ Correcto),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
donde es el período de muestreo, es la frecuencia de muestreo, es la función sinc normalizada .
Condiciones de contorno
Hay dos condiciones de contorno que la función debe satisfacer para que se cumpla la fórmula de interpolación:
- debe ser limitado. La transformada de Fourier para una función debe tener la siguiente propiedad: for , where .
- La frecuencia de muestreo debe ser al menos más del doble del rango de frecuencia , o equivalente:
donde es el periodo de muestreo.
La fórmula de interpolación recrea la señal original solo cuando se cumplen estas dos condiciones. De lo contrario, hay una superposición de componentes de alta frecuencia sobre los de baja frecuencia: aliasing .
Interpolación como suma de convoluciones
La fórmula de interpolación derivada del teorema de Kotelnikov indica que también se puede expresar como una convolución del "peine" de Dirac con la función sinc :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac{t}{T}}\derecha).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Esto es equivalente al filtrado de "peine" de Dirac con un filtro de paso bajo ideal .
Convergencia
La fórmula de interpolación siempre converge, por supuesto y localmente uniformemente, bajo la condición:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
La desigualdad de Hölder se considera satisfecha si la sucesión pertenece a cualquiera de - espacios , donde , lo que equivale a la condición:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Esta condición es suficiente, pero no necesaria.
Procesos estacionarios aleatorios
Si es una secuencia infinita de lecturas de una función discreta en el sentido amplio de un proceso estacionario , y no es miembro de ningún espacio o -, con probabilidad 1; entonces la suma de estas lecturas, elevada a la potencia , no toma el valor final esperado. Aunque la fórmula de interpolación converge con una probabilidad de 1, la convergencia se puede mostrar fácilmente calculando la diferencia en condiciones de suma limitada y muestra que la diferencia se puede hacer arbitrariamente pequeña eligiendo un número suficiente de condiciones. Si este proceso es distinto de cero, entonces se deben considerar pares de condiciones de tal manera que muestren que el valor esperado de las expresiones acotadas converge a cero.
Dado que el proceso aleatorio no tiene transformada de Fourier , la condición bajo la cual la suma converge a la función original también debe ser diferente. Un proceso aleatorio invariable tiene una función de autocorrelación y, por lo tanto, una densidad monocromática, de acuerdo con el teorema de Wiener-Khinchin . Una condición suficiente para la convergencia a una función discreta de este proceso es que la densidad espectral sea cero en todas las frecuencias mayores o iguales a la mitad del muestreo.