Desigualdad de Hölder

La desigualdad de Hölder en análisis funcional y disciplinas afines es una propiedad fundamental de los espacios . $L^{p}$

Redacción

Sea un espacio con medida , y sea un espacio de funciones de la forma con grado ‑ésimo integrable finito . Entonces la seminorma se define en este último : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \a \mathbb{R}$ $pags$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{{1/ pags}}

donde , generalmente se supone que es un número natural. $p\geq 1$

Let , y , donde . Entonces , y $f \in L^p$ $g\en L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Prueba

Reformulemos la desigualdad de Hölder expresando las normas en términos de las integrales correspondientes.
Sea un espacio con medida , , medible. Entonces: Para la prueba, usamos el siguiente enunciado ( desigualdad de Young ): $X$ $\mu$ $E\subconjunto X$ $mi$
$f\en L^{{p}},g\en L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Flecha derecha \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{{1/p}}b^{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Pongamos
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E} }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Aplicando la desigualdad, obtenemos:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\right)$

Tenga en cuenta que el lado derecho de la desigualdad es sumable en un conjunto (por lo tanto, también se sigue la sumabilidad del lado izquierdo). Integrando la desigualdad sobre , obtenemos: Se demuestra la desigualdad de Hölder. Nota: si o es igual a 0, entonces esto significa que o son equivalentes a cero en , y la desigualdad de Hölder obviamente se cumple. $mi$ $mi$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 {p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$yo_1$ $yo_{2}$ $F$ $gramo$ $mi$

Casos especiales

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky

Fijando , obtenemos la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky para el espacio . $p=q=2$ $L^{2}$

Espacio euclidiano

Considere el espacio euclidiano o . -norma en este espacio tiene la forma: $E={\mathbb{R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots,x_{n})^{{\arriba}}

y entonces

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\right)^{{1/q}},\;\para todo x,y\en E

Espacio l p

Sea una medida contable en . Entonces el conjunto de todas las sucesiones es tal que: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\matemáticas {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

\|x\|_{p}=\sum _{{n=1}}^{{\infty}}|x_{n}|^{p}<\infty

llamado _ La desigualdad de Hölder para este espacio tiene la forma: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty}}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits_{{n=1}}^{{\infty}} |y_{n}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\para todas las x\en l^{p},y\en l^{q}

Espacio de probabilidad

Sea un espacio de probabilidad . Luego consta de variables aleatorias con un momento final : , donde el símbolo denota la esperanza matemática . La desigualdad de Hölder en este caso tiene la forma: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $pags$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\ matemáticas {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\right)^{{1/q}},\;\para todos X\en L^{p},Y\en L^{q}

Véase también

Literatura

Sobolev S.L. Algunas aplicaciones del análisis funcional en la física matemática. — 3ª ed., revisada y complementada. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. Un curso corto en la teoría de una función de una variable real. - 2ª ed., revisada y complementada. — M .: Nauka , 1973. — 352 p.