Ecuación irracional

Una ecuación irracional es una ecuación que contiene la incógnita bajo el signo de la raíz o elevada a una potencia que no se puede reducir a un número entero . El ejemplo más simple de una ecuación irracional es la ecuación o . A veces, las raíces se pueden denotar como poderes racionales de lo desconocido, es decir, escriben en su lugar . ${\ estilo de visualización \ surd}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {x}} = 2}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt [{3}] {x}} = -3}$ ${\raíz cuadrada[{n}]{x}}$ $x^{\frac{1}{n))$

Ejemplos y clasificación

${\ estilo de visualización 3 (x + 4) = x}$ - dado que la variable no está bajo el signo de la raíz - esta es una ecuación algebraica. $X$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - dado que ninguna de las variables , , está bajo el signo de la raíz, pero es un número constante - esta es una ecuación algebraica. $z$ $y$ $X$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ pi))}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - dado que la variable no está bajo el signo de la raíz, y - un número constante es una ecuación racional. $X$ ${\ sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - Incluso las ecuaciones donde la incógnita se encuentra con potencias negativas no son irracionales. Esta es nuevamente una ecuación racional idéntica a la descrita anteriormente. $X$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ es una ecuación algebraica, ya que ${\ estilo de visualización x ^ {0} = 1}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - dado que la variable se eleva a una potencia fraccionaria, que no se puede reducir a un número entero - esta es una ecuación irracional. $X$

En resumen, la regla para asignar ecuaciones a una u otra categoría se puede formular de la siguiente manera:

si todas las potencias de las incógnitas en la ecuación pertenecen al conjunto de los números naturales , entonces dicha ecuación se considera algebraica. $\matemáticas {N}$
si todas las potencias de las incógnitas en la ecuación pertenecen al conjunto de los enteros , entonces tal ecuación se llama racional. $\matemáticas {Z}$
si todas las potencias de las incógnitas en la ecuación pertenecen al conjunto de números racionales , entonces tal ecuación se llama irracional. $\matemáticas {Q}$

Ejemplos de ecuaciones irracionales más complejas pueden servir como ejemplos:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\raíz cuadrada {x-1}}=10x+{\raíz cuadrada[{11}]{x-2}}+1

Relación con ecuaciones algebraicas

Cualquier ecuación irracional con la ayuda de operaciones algebraicas elementales (multiplicación, división, elevando ambas partes de la ecuación a una potencia entera) puede reducirse a una ecuación algebraica racional . Por ejemplo, una ecuación elevada a la segunda potencia se puede convertir a la forma , que ya no es una ecuación irracional, sino algebraica. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ ${\ estilo de visualización x^{2}+x=4}$

Debe tenerse en cuenta que la ecuación algebraica racional resultante puede no ser equivalente a la ecuación irracional original, es decir, puede contener raíces "extra" que no serán las raíces de la ecuación irracional original. Por lo tanto, habiendo encontrado las raíces de la ecuación algebraica racional obtenida, es necesario verificar si todas las raíces de la ecuación racional serán raíces de la ecuación irracional.

Enfoques de solución

En el caso general, es difícil indicar algún método universal para resolver cualquier ecuación irracional, ya que es deseable que como resultado de transformaciones de la ecuación irracional original, no se obtenga solo algún tipo de ecuación algebraica racional, entre las raíces de cual no serán las raíces de esta ecuación irracional, sino una ecuación algebraica racional formada a partir de polinomios del menor grado posible. El deseo de obtener una ecuación algebraica racional formada a partir de polinomios del grado más pequeño posible es bastante natural, ya que encontrar todas las raíces de una ecuación algebraica racional puede ser en sí mismo una tarea bastante difícil, que podemos resolver completamente solo en un número muy limitado. de los casos.

Exponenciación

Si ambas partes de la ecuación irracional se elevan a la misma potencia impar y se liberan de radicales, se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación original.

Cuando se eleva una ecuación a una potencia par, se obtiene una ecuación que es consecuencia de la original. Por tanto, es posible la aparición de soluciones extrañas a la ecuación. La razón de sacar raíces es que al elevar a una potencia par números que son iguales en valor absoluto pero de distinto signo, se obtiene el mismo resultado.

Tenga en cuenta que la pérdida de raíces al elevar una ecuación a una potencia par es imposible, pero pueden aparecer raíces extrañas. Considere un ejemplo:

Resolvamos la ecuación ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Eleva ambos lados de la ecuación a la segunda potencia

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

como estamos elevando a una potencia par, es posible la aparición de raíces extrañas, porque por el mismo proceso de elevación ampliamos el rango de valores aceptables (ODZ) para expresiones radicales.

Entonces, cuando se equiparaba a un número positivo conocido (ya que , en virtud de la definición de raíz aritmética), la variable no podía tomar valores que se convertirían en números negativos, es decir o . ${\ estilo de visualización 4x-8}$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $X$ ${\ estilo de visualización 4x-8}$ ${\ estilo de visualización 4x-8 \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización x \ geqslant 2}$

En otras palabras, en el lugar con el enunciado del problema, también se nos dieron restricciones en los valores de la variable (ODV) en la forma . Pero, después de elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos la ecuación ${\ estilo de visualización x \ geqslant 2}$

${\ estilo de visualización x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64}$ ,

ya en el que el área de valores admisibles ( ODZ ) con un cambio es completamente diferente (ahora puede tomar absolutamente cualquier valor, es decir, el ODZ se ha expandido con respecto a la ecuación original). $X$ $X$

Obviamente, la probabilidad de raíces extrañas ha aumentado dramáticamente simplemente por el hecho de que ahora muchos más números pueden convertirse en una raíz, y no solo aquellos que . ${\ estilo de visualización x \ geqslant 2}$

Continuando con la resolución y simplificación, obtenemos una ecuación cuadrática: ${\ estilo de visualización x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64}$

${\ estilo de visualización 15x^{2}-68x+69=0}$ , cuyas raíces son

$x=3$ y $x={\frac {23}{15}}$

Cabe señalar que y son exactamente las raíces de la ecuación , pero aún no se sabe si son las raíces de la ecuación original. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ ${\ estilo de visualización 15x^{2}-68x+69=0}$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Entonces sabemos que las raíces de la ecuación original no pueden ser menores que 2, pero mientras tanto la raíz es menor que dos, lo que significa que no puede ser la raíz de la ecuación original. $x={\frac {23}{15}}\aproximadamente 1,533333...$

Responder: ${\ estilo de visualización x \ en \ {3 \))$

Sustitución del sistema de condiciones

Uso de las propiedades raíz

Introducción de nuevas variables

La introducción de una variable auxiliar en algunos casos conduce a una simplificación de la ecuación. La mayoría de las veces, la raíz (radical) incluida en la ecuación se usa como una nueva variable. En este caso, la ecuación se vuelve racional con respecto a la nueva variable.

Ejemplo 1 [1] : Resuelva la ecuación $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Hagamos un reemplazo , es claro que al hacerlo hemos impuesto restricciones a la nueva variable en la forma , ya que la raíz aritmética no puede ser un número negativo. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

Después de elevar a la segunda potencia, nos deshacemos del signo de la raíz y obtenemos la expresión . Además, después de la sustitución en la ecuación original, obtenemos la siguiente ecuación: $y$ ${\ estilo de visualización y^{2}=2x^{2}+3x+9}$ $y$

${\ estilo de visualización y^{2}+y-42=0}$ ,

cuyas raíces y . Pero no puede ser un número negativo debido a que lo definimos a través de nuestra sustitución, por lo que consideraremos solo . Además, resolviendo la ecuación , obtenemos las raíces y . ${\ estilo de visualización y = 6}$ ${\ estilo de visualización y = -7}$ $y$ $y$ ${\ estilo de visualización y = 6}$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ ${\ estilo de visualización x = -4,5}$

Responder: $x\in\{3;-4.5\}$

Ejemplo 2 [2] : Resuelva la ecuación ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Hagamos dos sustituciones: y , luego de elevarlas a la tercera potencia, obtenemos y . Además, resolviendo cada nueva ecuación para $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ ${\ estilo de visualización u ^ {3} = x + 28}$ ${\ estilo de visualización v^{3}=x-9}$ $X$

${\ estilo de visualización x = u ^ {3} -28}$ y , y después de igualar estas ecuaciones, obtenemos la ecuación , pero en vista de cómo introdujimos y , también tenemos la ecuación , lo que significa que tenemos un sistema de ecuaciones: ${\ estilo de visualización x = v ^ {3} + 9}$ ${\ estilo de visualización u^{3}-28=v^{3}+9}$ $tu$ $v$ ${\ estilo de visualización uv = 1}$

${\begin{casos}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{casos))$

Habiendo resuelto el sistema, obtenemos los valores y , lo que significa que necesitamos resolver dos ecuaciones más: ${\ estilo de visualización v_ {1} = 3}$ ${\ estilo de visualización v_ {2} = -4}$

${\ estilo de visualización {\ sqrt [{3}] {x-9}} = 3}$ y , cuyas soluciones y . ${\ estilo de visualización {\ sqrt [{3}] {x-9}} = -4}$ ${\ estilo de visualización x = 36}$ ${\ estilo de visualización x = -55}$

Responder: $x\in\{36;-55\}$

Uso del alcance

Uso del rango

Transformaciones de identidad

Usando la derivada

Uso de la mayorante

El término " majorante " proviene de la palabra francesa "majorante" , de "majorer" - declarar grande.

La mayorante de una función dada en un intervalo dado es un número A tal que para todo x del intervalo dado, o para todo x del intervalo dado. La idea principal del método es utilizar los siguientes teoremas para resolver ecuaciones irracionales: $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x) \ leqslant {A}}$ ${\ Displaystyle f (x) \ geqslant {A}}$

Teorema número 1.

Sean y sean algunas funciones definidas en el conjunto . Sea acotado en este conjunto por el número A desde arriba, y acotado en este conjunto por el mismo número A , pero desde abajo. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Entonces la ecuación es equivalente al sistema: $f(x)=g(x)$

${\begin{casos}f(x)=A\\g(x)=A\end{casos))$

Teorema número 2.

Sean y sean algunas funciones definidas en el conjunto . Sea y esté acotado en este conjunto desde abajo (desde arriba) por los números A y B , respectivamente. Entonces la ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) + g (x) = A + B}$

${\begin{casos}f(x)=A\\g(x)=B\end{casos))$

Teorema número 3.

Sean y algunas funciones no negativas definidas en el conjunto . Sea acotado por arriba (o por abajo) por los números A y B , respectivamente. Entonces la ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones (siempre que y ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) g (x) = AB}$ $A>0$ ${\ estilo de visualización B> 0}$

${\begin{casos}f(x)=A\\g(x)=B\end{casos))$

En este enunciado cobra especial importancia la condición de no negatividad de las funciones y , así como la condición de positividad de A y B. $f(x)$ $g(x)$

Ejemplo:

resuelve la ecuación ${\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Introduzcamos una notación más corta: y . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

Valores mayores o iguales a 1 porque la expresión radical es obvia . Y solo si . De igual forma, los valores no son menores a 5. Entonces podemos escribir . Por lo tanto, usando el Teorema #2: $f(x,y)$ ${\ estilo de visualización (x-2y+1)^{2}+1}$ ${\ estilo de visualización \ geqslant {1}}$ ${\ estilo de visualización f (x, y) = 1}$ ${\ estilo de visualización (x-2y+1)^{2}=0}$ ${\ estilo de visualización g (x, y)}$ ${\ estilo de visualización f (x, y) + g (x, y) = 1 + 5}$

${\begin{casos}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{casos))$ o ${\begin{casos}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\end{casos}}$

Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones, obtenemos

${\begin{casos}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{casos))$ , simplificando aún más ${\begin{casos}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{casos))$

La única solución a este sistema. ${\ estilo de visualización (1; 1)}$

Responder: ${\ estilo de visualización (1; 1)}$

Enfoque gráfico

En algunos casos, trazar una función te permite evaluar posibles formas de resolver una ecuación, el número de raíces o su valor aproximado.

Notas

↑ Akatkina Elena Mijailovna. Métodos para resolver ecuaciones irracionales . Abra lección.rf . (indefinido)
↑ Eremenko Elena Vasilievna. Ecuaciones irracionales . Abra lección.rf . Consultado el 24 de octubre de 2020. Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2020. (indefinido)

Enlaces

[ Ecuaciones irracionales. Ejemplos con soluciones ]