Raíz cuadrada de una matriz

La raíz cuadrada de una matriz es una extensión del concepto de raíz cuadrada numérica a un anillo de matrices cuadradas .

Definición

Una matriz se llama la raíz cuadrada de una matriz si el cuadrado , es decir , el producto de la matriz es el mismo que la matriz $\matemáticas {B}$ $\matemáticas {A}$ ${\ matemáticas {B}),$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {BB},}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {A}.}$

Existencia y singularidad

No todas las matrices tienen raíz cuadrada. Por ejemplo, la matriz no tiene raíz . Esta matriz es también divisor de cero y raíz cuadrada de cero. Así, en un anillo de matrices, el cero tiene infinitas raíces cuadradas. $\left({\begin{pequeña matriz}0&a\\0&0\end{pequeña matriz}}\right),a\neq 0$

En aquellos casos en los que existe la raíz, no siempre se determina de forma única. Por ejemplo, una matriz tiene cuatro raíces: y . $\left( \begin{matriz pequeña}33&24\\ 48&57\end{matriz pequeña} \right)$ $\pm \left({\begin{pequeña matriz}1&4\\8&5\end{pequeña matriz}}\right)$ $\pm \left({\begin{pequeña matriz}5&2\\4&7\end{pequeña matriz}}\right)$

La matriz identidad tiene las siguientes 6 raíces entre matrices que consisten en , y : $\bigl( \begin{matriz pequeña}1&0\\ 0&1\end{matriz pequeña} \bigr)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $-una$ $+1$

\left({\begin{matriz}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matriz}}\right),\quad \left({\begin{matriz}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matriz}}\right),\quad \left({\begin{matriz}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matriz}}\right);

así como un número infinito de raíces cuadradas racionales simétricas de la forma:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matriz}s&r\\r&-s\end{matriz}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matriz}s&-r\\-r&-s\end{matriz}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matriz}- s&r\\r&s\end{matriz}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matriz}-s&-r\\-r&s\end{matriz}}\ Correcto),

donde es un triple pitagórico arbitrario , es decir, un triple de números naturales para los cuales . $(r, s, t)$ $r^2+s^2=t^2$

La complejidad de extraer una raíz de una matriz se debe a que el anillo de la matriz no es conmutativo y tiene divisores cero, es decir, no es un dominio de integridad . En el campo de la integridad, por ejemplo, en el anillo de polinomios sobre el campo , cada elemento tiene como máximo dos raíces cuadradas.

Matrices definidas positivas

Una matriz definida positiva siempre tiene exactamente una raíz definida positiva , que se denomina raíz cuadrada aritmética [1] .

Con todo, una matriz de orden definido positivo con diferentes valores propios tiene raíces. Expandiendo dicha matriz en términos de vectores propios, obtenemos su representación en la forma donde es una matriz diagonal con valores propios . Entonces las raíces cuadradas de la matriz tienen la forma donde es una matriz diagonal con entradas en la diagonal. $A$ $norte$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\matemáticas {D}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {i}> 0}$ $A$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2))}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Literatura

Gantmakher F.R. Teoría de la matriz. Moscú: GITTL, 1953, págs. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Enciclopedia de Álgebra Lineal. Sistema electrónico LINEAL. SPb.: BHV-Petersburgo, 2006.

Notas

↑ Valentin Vasilievich Voevodin, Yuri Alekseevich Kuznetsov. Matrices y Computación . — "Ciencia", Capítulo. edición Literatura Física y Matemática, 1984. - S. 88-89. — 330 s.