Matriz diagonal

La matriz diagonal es una matriz cuadrada , cuyos elementos, fuera de la diagonal principal , son iguales a cero:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmatriz}}

Una matriz diagonal con entradas en la diagonal principal se denota por . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\puntos,d_{{n}})$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\))$

Es tanto triangular superior como triangular inferior . La matriz diagonal es simétrica: . El rango de una matriz diagonal es igual al número de elementos distintos de cero ubicados en la diagonal principal. $D^{\intercalar}=D$

Las matrices diagonales se pueden sumar y multiplicar término por término:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\puntos,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\puntos,a_{n}+b_{ norte}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \ puntos ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\puntos ,a_{n}b_{n}\}$ .

El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\dots d_{{nn}}$

El complemento algebraico del elemento fuera de la diagonal de una matriz diagonal es cero, es decir:

D_{ij}={\begin{casos}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{casos }}

La matriz inversa de una matriz diagonal es:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\puntos,d_{nn}^{-1}\}

Las diagonales son matriz cero , matriz identidad , matriz escalar (todos los elementos de la diagonal principal son iguales).

En algunos casos, una matriz fuera de la diagonal se puede reducir a una forma diagonal cambiando la base ; una condición suficiente es la diferencia de todos los valores propios de la matriz (en el caso general, la matriz es reducible solo a la forma de Jordan ).

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro