Función cuasi-convexa

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Una función cuasi-convexa es una generalización del concepto de función convexa , que ha encontrado una amplia aplicación en la optimización no lineal , en particular, cuando se aplica la optimización a la economía .

Definición

Sea X un subconjunto convexo de . Una función se llama cuasi-convexa o unimodal si la siguiente desigualdad se cumple para elementos arbitrarios y : $\mathbb{R} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización x, y \ en X}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en [0,1]}$

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big (}f(x),f(y){\big )}.$

Si también: ${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big (}f(x),f(y){\big )))$

para y entonces se dice que la función es estrictamente cuasi-convexa . ${\ estilo de visualización x \ neq y}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en (0,1)}$

Una función se llama cuasi- cóncava (estrictamente cuasi-cóncava) si es cuasi-convexa (estrictamente cuasi-convexa). $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización -f}$

De manera similar, una función es cuasi cóncava si

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

y estrictamente cuasi-cóncava si

f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

Una función que es cuasi-convexa y cuasi-cóncava se llama cuasi -lineal .

Ejemplos

Una función convexa arbitraria es cuasi-convexa, una función cóncava arbitraria es cuasi-cóncava.
La función es casi lineal en el conjunto de números reales positivos . ${\ estilo de visualización f (x) = \ ln x}$
La función es casi cóncava en el conjunto (el conjunto de pares de números no negativos) pero no es ni convexa ni cóncava. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+}^ {2},}$
La función es casi convexa y no es ni convexa ni continua . $x\mapsto \lpiso x\rpiso$

Propiedades

La función , donde es un conjunto convexo , es cuasi-convexa si y solo si para todo el conjunto $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ beta \ en \ mathbb {R},}$

${\displaystyle X_{\beta }=\{x\in X|f(x)\leqslant \beta \))$ convexo

Prueba. Sea el conjunto convexo para cualquier β. Fijamos dos puntos arbitrarios y consideramos el punto Puntos en . Dado que el conjunto es convexo, entonces , y, por lo tanto, es decir, se satisface la desigualdad dada en la definición y la función es cuasi-convexa.

{\ Displaystyle X_ {\ beta}}

x_1, x_2\en X

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).

{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))

{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))

{\ Displaystyle X_ {\ beta}}

{\ estilo de visualización \; x \ en X_ {\ beta}}

f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},

Sea la función f cuasi-convexa. Para algunos fijamos puntos arbitrarios Entonces . Como X es un conjunto convexo, entonces para cualquier punto . De la definición de cuasi-convexidad se sigue que , es decir, . Otzhe, es un conjunto convexo.

{\ estilo de visualización \ beta \ en \ mathbb {R}}

{\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2} \ en X_ {\ beta}.}

\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

{\ estilo de visualización \ lambda \ en (0,1)}

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\en X

f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

x\en X_{\beta}

{\ Displaystyle X_ {\ beta}}

Una función continua , donde X es un conjunto convexo en , es casi convexa si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones: $f:X\to \mathbb {R}$ $\matemáticas {R}$

f no es decreciente;
f - no creciente;
hay un punto tal que para toda la función f no es creciente, y para toda la función f no es decreciente. ${\ estilo de visualización c \ en X}$ $t\in X,t\leqslant c,$ $t\in X,t\geqslant c,$

Funciones cuasi-convexas diferenciables

Sea una función diferenciable en X , donde es un conjunto convexo abierto . Entonces f es cuasi-convexa en X si y solo si la relación se cumple: $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$

f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0

para todos

{\ estilo de visualización x, y \ en X}

Sea f una función dos veces diferenciable. Si f es casi convexa en X, entonces se cumple la siguiente condición:

\left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,

para todos

x\in X,y\in \mathbb {R} ^{n}

Las condiciones necesarias y suficientes para la cuasi-convexidad y la cuasi-concavidad también se pueden dar en términos de la llamada matriz hessiana bordeada . Para la función , definimos los determinantes para : $f(x_{1},\ldots,x_{m})$ $1\leqslant n\leqslant m$

$D_{n}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}&{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2))} &\cdots &{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))}\\\\{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}&{\frac {\parcial ^ {2}f}{\parcial x_{1}^{2}}}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{1}\,\parcial x_{2}}}&\ cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{1}\,\parcial x_{n))}\\\\{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2} }}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{2}\,\parcial x_{1}}}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{2}\,\parcial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{n} \,\parcial x_{1))}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{n}\,\parcial x_{2))}&\cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{n}^{2}}}\end{vmatriz}}$

Entonces las afirmaciones son verdaderas:

Si la función f es casi convexa en un conjunto X , entonces D n (x) ≤ 0 para todo n y todo x de X .
Si la función f es cuasi-cóncava en el conjunto X , entonces D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 para todo x con X .
Si D n (x) ≤ 0 para todo n y todo x con X , entonces la función f es casi convexa en el conjunto X .
Si D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 para todo x con X , la función f es casi cóncava en el conjunto X .

Operaciones que preservan la cuasi-convexidad

El máximo de funciones cuasi convexas ponderadas con pesos no negativos, es decir

f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots,w_{n}f_{n}\right\rbrace

dónde

w_{i}\geqslant0

una composición con una función no decreciente (si es cuasi-convexa, no es decreciente, entonces es cuasi-convexa). $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización f = h \ círculo g}$
minimización (si f(x, y) es cuasi-convexo, C es un conjunto convexo, entonces es cuasi-convexo). $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$

Enlaces

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Optimización convexa Archivado el 13 de julio de 2017 en Wayback Machine .

Literatura

Alpha C Chiang, Métodos fundamentales de economía matemática, tercera edición, McGraw Hill Book Company, 1984.