Aproximación semiclásica

La aproximación semiclásica , también conocida como método WKB ( Wentzel - Kramers - Brillouin ), es el ejemplo más famoso de cálculo semiclásico en mecánica cuántica , en el que la función de onda se representa como una función exponencial, semiclásicamente extendida, y luego la la amplitud o la fase se cambia lentamente. Este método lleva el nombre de los físicos G. Wentzel , H.A. Kramers y L. Brillouin , quienes desarrollaron este método en 1926 independientemente el uno del otro. En 1923 el matemático Harold Jefferydesarrolló un método general para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, que también incluye la solución de la ecuación de Schrödinger . Pero dado que la ecuación de Schrödinger apareció dos años después, tanto Wentzel como Kramers y Brillouin obviamente no conocían este trabajo anterior.

En cierto sentido, históricamente, la aproximación semiclásica precedió al método WKB y al concepto de función de onda en general: la llamada. La " vieja teoría cuántica " estudió empíricamente el mismo caso límite en 1900-1925.

Conclusión

Comenzando con la ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional:

-{\frac {\hbar^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/psi(x)

que se puede reescribir como

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\psi(x)

representamos la función de onda como una función exponencial de otra función desconocida Φ

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ debe satisfacer la ecuación

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ Correcto)

donde significa la derivada de con respecto a x . Dividimos en partes real e imaginaria introduciendo las funciones reales A y B : ${\ estilo de visualización \ Phi '}$ $\Fi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Entonces la amplitud de la función de onda es , y la fase es . De la ecuación de Schrödinger se siguen dos ecuaciones que estas funciones deben satisfacer: ${\displaystyle e^{\int^{x}A(x')dx'))$ ${\ Displaystyle {\ int ^ {x} B (x') dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

Queremos considerar la aproximación semiclásica para resolver estas ecuaciones. Esto significa que desarrollaremos cada función como una serie de potencias . De las ecuaciones, podemos ver que la serie de potencias debe comenzar con el término para satisfacer la parte real de la ecuación. Pero como necesitamos un buen límite clásico, también queremos comenzar la expansión con una potencia de la constante de Planck tan alta como sea posible. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar}}\sum_{{i=0}}^{\infty}\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar}}\sum_{{i=0}}^{\infty}\hbar ^{i}B_{i}(x)

Hasta el primer orden de expansión, las ecuaciones se pueden escribir en la forma

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\izquierda(V(x)-E\derecha)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Si la amplitud cambia más débilmente que la fase, entonces podemos poner y obtener $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Esto es cierto solo si la energía total es mayor que la energía potencial. Después de cálculos similares para el siguiente orden de pequeñez, obtenemos

\Psi (x)\approx C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)))))

Por otro lado, si la fase cambia lentamente en comparación con la amplitud, establecemos y obtenemos $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)))

Esto es cierto si la energía potencial es mayor que la total. Para el siguiente orden de pequeñez, obtenemos

\Psi (x)\approx {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x) )-E\right)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x )-E\right)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right))) ) }}

Es obvio que, debido al denominador, ambas soluciones aproximadas divergen cerca del punto de inflexión clásico, donde u no puede ser correcto. Tenemos soluciones aproximadas lejos de la barrera de potencial y debajo de la colina de potencial. Lejos de la barrera de potencial, las partículas se comportan como una onda libre: la fase oscila. Por debajo de la barrera de potencial, la partícula sufre cambios exponenciales de amplitud. $E=V(x)$

Para resolver completamente el problema, debemos encontrar soluciones aproximadas en todas partes e igualar los coeficientes para hacer una solución aproximada global. Todavía debemos aproximar la solución en torno a los puntos de inflexión clásicos.

Denotemos el punto de inflexión clásico . Near , se puede expandir en una fila. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cpuntos

Para el primer orden, obtenemos

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Su solución cerca de los puntos de inflexión es la siguiente:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ derecha)+C_{{-{\frac {1}{3))))J_{{-{\frac {1}{3))))\izquierda({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)

Usando las asintóticas de esta solución, podemos encontrar la relación entre y : $C, \ theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sen {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

Lo que completa la construcción de la solución global.

Literatura

Pokrovsky VL Aproximación cuasiclásica. Archivado el 16 de junio de 2011 en Wayback Machine // Enciclopedia física. - T. 2. - M.: SE, 1990. - S. 252-255.
método WKB. Archivado el 15 de marzo de 2012 en Wayback Machine // Enciclopedia física. - T. 1. - M.: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-aproximación. - M. : Mir, 1967. - 166 p.
Maslov VP, Fedoryuk MV Aproximación semiclásica para las ecuaciones de la mecánica cuántica. — M .: Nauka, 1976. — 296 p.