Cinemática continua

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Cinemática de un medio continuo (del otro griego κίνημα - movimiento) es una sección de la cinemática que estudia el movimiento de un medio continuo (modelos de un cuerpo deformable, líquido o gas), sin entrar en las causas que lo provocan. Debido a la relatividad del movimiento, es obligatorio indicar el marco de referencia con respecto al cual se describe el movimiento.

El modelo continuo

El modelo opera con el concepto de volumen elemental , que es pequeño en comparación con el tamaño característico del problema, pero en el que hay muchas partículas (átomos, moléculas, etc.) interactuando entre sí. El camino libre medio (la distancia promedio que recorre una partícula entre colisiones) debe ser mucho más pequeño que el tamaño característico . Dicho modelo puede describirse mediante partículas de un medio continuo : volúmenes elementales de un medio continuo en el que las características de un medio continuo (un conjunto de partículas del objeto en consideración) pueden considerarse constantes. $dV$ $dV$

Enfoques de Lagrangian y Euler para describir el continuo

Para identificar las partículas de un medio continuo, se requiere numerarlas. Debido a la tridimensionalidad del espacio, se utilizan tres variables . Tales parámetros de identificación de las partículas del medio se denominan coordenadas lagrangianas (o materiales) . Como coordenadas lagrangianas se pueden elegir, por ejemplo, las coordenadas cartesianas de las partículas en algún momento del tiempo . En términos generales, el método de "numeración" de las partículas del medio puede ser arbitrario. ${\ estilo de visualización (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ xi _ {3})}$ $\tau$

Las coordenadas de los puntos del entorno en el sistema de coordenadas espaciales se denominan coordenadas de Euler (o espaciales) . La solución al problema de la cinemática de un medio continuo es establecer las coordenadas de una partícula material en cualquier momento, es decir, encontrar funciones o funciones que asocien cada partícula con su posición en el tiempo. $(x_1,x_2,x_3)$ $(x_1,x_2,x_3)$ ${\ estilo de visualización (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ xi _ {3})}$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Grande |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Grande |}_{i=1,2,3))$

Cualquier función que describa las propiedades de las partículas en un medio continuo ( densidad , temperatura , aceleración , etc.) puede definirse como una función de coordenadas lagrangianas ( enfoque lagrangiano ) o una función de coordenadas de Euler ( enfoque euleriano ). ${\ estilo de visualización \ rho (t, \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ xi _ {3})}$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot)}{\Delta V}}$

Para cualquier función en las variables de Euler , $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\parcial f}{\parcial t))+v_{1}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))} +v_{2}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2))}+v_{3}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{3))))

La trayectoria de una partícula es el lugar geométrico de sus posiciones en todo momento. La trayectoria de una partícula está determinada por la ley del movimiento.

Una línea de corriente en un punto en el tiempo es una curva cuya dirección tangente en cada punto coincide con la dirección del vector velocidad de un medio continuo en ese punto en el tiempo. Las líneas de corriente se determinan a partir de las ecuaciones $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau,x_{i })}}={\frac{dx_{3}}{v_{3}(\tau,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Fórmula de Cauchy-Helmholtz

La fórmula de Cauchy-Helmholtz relaciona la velocidad de las partículas del medio en un punto ubicado en una pequeña vecindad de algún punto si se conoce la velocidad de las partículas en ese punto . $A$ ${\ estilo de visualización O (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $O$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

donde es el tensor de velocidad de deformación, a es el tensor de deformación pequeño y es el vector de vórtice. ${\sombrero {E}}=(e_{ij})$ ${\sombrero {\varepsilon}}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Prueba

El punto se representa como $A$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

En una aproximación lineal

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, o mediante el operador nabla : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)

Mover un punto relativamente tiene la forma , desde arriba o en coordenadas $A$ $O$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\parcial v_{i)){\parcial r_{j))}\cdot r_{j}\ derecha)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

puede ser reescrito

dr_{i}=\sum_{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

dónde

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial v_{i}}{\parcial r_{j}}}+{\frac {\parcial v_{ j}}{\parcial r_{i}}}}\right)

, un .

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\parcial v_{j} }{\parcial r_{i}}}}\right)

Después de la conversión

\sum_{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Resulta la fórmula de Cauchy-Helmholtz:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt

Así, , o para velocidades: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Deformación pura

El caso de deformación pura surge en ausencia de la parte rotacional del movimiento . En el sistema de coordenadas principal (en los ejes principales correspondientes) es cierto: $(\nabla \times {\vec{v}}=0)$

{\sombrero {\varepsilon}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

Según la fórmula de Cauchy-Helmholtz . $d{\vec {r}}=\varepsilon_{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon_{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

En el caso de deformación pura, los puntos de una pequeña partícula de un medio continuo, que se encuentran en ese momento en la esfera de radio , pasan más allá a un elipsoide , llamado elipsoide de deformación . Los puntos de una partícula de un medio continuo que se encuentran en los ejes principales de deformación permanecerán después de la deformación en los mismos ejes, experimentando solo un desplazamiento a lo largo de ellos. $t$ $a$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Las longitudes de los ejes principales del elipsoide se describen mediante raíces . ${\ Displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac{R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Deformación homogénea

En el caso de que , que determinan la deformación pura y la rotación de la partícula, sean constantes, la deformación se denomina homogénea. ${\sombrero {E)),\;{\vec {\omega }}$

Para deformación uniforme:

Los puntos del medio que se encuentran en un plano o en una línea recta permanecen después de la deformación, respectivamente, en un cierto plano o en una línea recta;
Las direcciones de los ejes principales de deformación para cualquier punto del medio serán las mismas;
Si en algún momento es el mismo en todos los puntos del medio, entonces en ese momento es el mismo en todos los puntos del medio. ${\ estilo de visualización {\ sombrero {E}}}$ $\vec\omega$

Condición de consistencia

Por definición , estos tensores tienen solo 6 componentes distintos. Estos 6 componentes todavía no son independientes, ya que se expresan en términos de tres componentes de velocidad . En virtud de la dependencia, satisfacen las relaciones, que se denominan condiciones de compatibilidad de Saint-Venant: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ ${\ estilo de visualización (v_{1},v_{2},v_{3})}$

{\frac {\parcial ^{2}e_{ij)){\parcial x_{k}\parcial x_{l))}={\frac {\parcial ^{2}e_{kl)){ \parcial x_{i}\parcial x_{j))}={\frac {\parcial ^{2}e_{kj)){\parcial x_{i}\parcial x_{l))}={\frac { \parcial ^{2}e_{il}}{\parcial x_{k}\parcial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

De estas 81 ecuaciones, solo 6 son independientes.

Literatura

Conferencias sobre mecánica continua, M. E. Eglit, Conferencia 1, 7-11
Mecánica continua, L. I. Sedov, Volumen 1, Capítulo 2