Vector covariante

En álgebra lineal, un vector covariante en un espacio vectorial es lo mismo que una forma lineal (funcional lineal) en ese espacio.

En geometría diferencial, un vector covariante en una variedad diferenciable es una sección suave del paquete cotangente. De manera equivalente, un vector covariante en una variedad M es un mapeo suave del espacio total del paquete tangente M en R , cuya restricción a cada capa es un funcional lineal en el espacio tangente. Se escribirá así:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

donde α x es lineal.

Vectores covariantes y contravariantes en espacios (en variedades) con métrica no degenerada

Además, se supone que en el espacio en el que existen los objetos descritos (o en la variedad en cuyo espacio tangente existen), se da una métrica no degenerada.

Correspondencia entre vectores y covectores

Si se define un tensor métrico no degenerado , entonces formalmente el "vector covariante" y el "vector contravariante" pueden considerarse simplemente representaciones diferentes (registros en forma de un conjunto de números) del mismo objeto geométrico: un vector ordinario . Es decir, el mismo vector se puede escribir como covariante (es decir, mediante un conjunto de coordenadas covariantes) o contravariante (es decir, mediante un conjunto de coordenadas contravariantes). La transformación de una representación a otra se realiza simplemente por convolución con un tensor métrico :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(aquí y más abajo nos referimos a la suma sobre un índice repetido, de acuerdo con la regla de Einstein).

La diferencia entre vectores y covectores

Significativamente, los vectores y covectores se distinguen por cuál de las representaciones es natural para ellos. Entonces, para covectores, por ejemplo, para un gradiente, la expansión en base dual es natural, ya que su convolución natural (producto escalar) con un vector ordinario (por ejemplo, desplazamiento) se lleva a cabo sin la participación de una métrica, simplemente por sumando los componentes multiplicados. Para los vectores ordinarios (a los que también pertenece el desplazamiento en coordenadas espaciales ), la expansión en la base principal es natural, ya que convolucionan con otros vectores ordinarios, como el vector desplazamiento en coordenadas espaciales, con la participación de la métrica. Por ejemplo, un escalar se obtiene (como un diferencial total ) mediante la contracción libre de métricas de un vector covariante , que es una representación natural del gradiente de 1 forma que actúa sobre un campo escalar, con un vector contravariante , que es una representación natural del vector de desplazamiento habitual en coordenadas; al mismo tiempo, colapsa consigo mismo usando la métrica: , lo cual está en total acuerdo con el hecho de que es contravariante. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\parcial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \parcial _{i}\varphi$ $\dx^{yo}$ $\dx^{yo}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Si hablamos del espacio físico ordinario, una simple muestra de la covarianza/contravarianza de un vector es cómo su representación natural se convoluciona con un conjunto de coordenadas de desplazamiento espacial , que es un ejemplo de vector contravariante. Los que convolucionan por simple suma, sin métrica involucrada, son vectores covariantes (formas 1); de lo contrario (la convolución requiere la participación de una métrica), estos son vectores contravariantes. Si el espacio y las coordenadas son completamente abstractos, y no hay forma de distinguir entre la base principal y la base dual, excepto por una elección condicional arbitraria, entonces la distinción significativa entre vectores covariantes y contravariantes desaparece o se vuelve también puramente condicional. $\dx^{yo}$ $\dx^{yo}$

La cuestión de si exactamente la representación en la que vemos un objeto es natural para él se abordará un poco más arriba. Natural para un vector ordinario es una representación contravariante, para un covector es covariante.

Véase también

forma diferencial

Véase también

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .