Diferencial (matemáticas)

Diferencial (del latín differentia “diferencia, diferencia”) es la parte lineal del incremento de una función .

Notación

Por lo general, el diferencial de una función se denota por . Algunos autores prefieren usar roman para enfatizar que el diferencial es un operador . $F$ $d.f.$ ${{\rm {d}}}f$

El diferencial en un punto se denota por , ya veces por o , así como por , si el significado es claro por el contexto. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $d.f.$ $x_{0}$

En consecuencia, el valor del diferencial en el punto desde puede denotarse como , ya veces o , y también , si el significado es claro por el contexto. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Uso del signo diferencial

El signo de la diferencial se usa en la expresión de la integral . En este caso, a veces (y no del todo correctamente) la diferencial se introduce como parte de la definición de la integral . $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
También el signo de la diferencial se usa en la notación de Leibniz para la derivada . Esta notación está motivada por el hecho de que para las diferenciales de una función y la función idéntica, la relación es verdadera: $f'(x_{0})={\frac{df}{dx}}(x_{0})$ $F$ $X$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definiciones

Para funciones

La diferencial de una función en un punto se puede definir como una función lineal $f\dos puntos {\mathbb {R}}\a {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\matemáticas {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

donde denota la derivada en el punto , y es el incremento del argumento al pasar de a . $f'(x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización x_ {0} + h}$

Por lo tanto, hay una función de dos argumentos . $d.f.$ $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

La diferencial se puede definir directamente, es decir, sin involucrar la definición de derivada, como una función que depende linealmente de , y para la cual se cumple la siguiente relación $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Para pantallas

El diferencial de un mapeo en un punto es un mapeo lineal tal que la condición $f\dos puntos {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\matemáticas {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Definiciones relacionadas

Un mapeo se llama diferenciable en un punto si se define el diferencial . $f\dos puntos {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\matemáticas {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

Propiedades

La matriz de un operador lineal es igual a la matriz jacobiana ; sus elementos son derivadas parciales . $d_{{x_{0}}}f$ $F$
- Tenga en cuenta que la matriz de Jacobi se puede definir en un punto donde el diferencial no está definido.
La diferencial de una función está relacionada con su gradiente por la siguiente relación constitutiva $F$ $\ nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Historia

El término "diferencial" fue introducido por Leibniz . Originalmente se usó para denotar " infinitesimal ", una cantidad que es menor que cualquier cantidad finita y, sin embargo, no es igual a cero. Esta vista ha demostrado ser inconveniente en la mayoría de las ramas de las matemáticas, con la excepción del análisis no estándar . $dx$

Variaciones y generalizaciones

El concepto de un diferencial contiene más que solo un diferencial de una función o mapeo. Se puede generalizar para dar varias entidades importantes en análisis funcional , geometría diferencial, teoría de la medida, análisis no estándar, geometría algebraica , etc.

Literatura

G. M. Fikhtengolts "Curso de cálculo diferencial e integral"

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego alrededor del mundo Pequeño Brockhaus y Efron Treccani

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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Científicos	Arquímedes Leibniz robinson Granja cauchy Euler
Literatura	Análisis de infinitesimales Cálculos elementales Curso de análisis

Derivados de la letra latina D, d
Letras	РР d d Ꟈꟈ Ďď d Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d d d ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ mi ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
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