Forma diferencial compleja

Una forma diferencial compleja es una forma diferencial con coeficientes complejos , generalmente considerada en variedades complejas .

Definiciones

Suponga que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces existe un sistema de coordenadas local , que consta de n funciones de valores complejos z 1 ,...,z n , tales que las transiciones de coordenadas de una sección a otra son funciones holomorfas de estas variables. El espacio de formas complejas tiene una estructura rica, principalmente dependiente del hecho de que estas funciones de transición son holomorfas y no simplemente suaves .

Forma única

Empezamos con el caso de las 1-formas. Descompongamos las coordenadas complejas en sus partes real e imaginaria: z j = x j + iy j para cada j . Pongamos

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z))^{j}=dx^{j}-idy^{j}.

Esto muestra que cualquier forma diferencial 1 con coeficientes complejos se puede escribir únicamente como una suma

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

Sea Ω 1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo s, y Ω 0,1 el espacio de formas que contienen solo . Las condiciones de Cauchy-Riemann dan que los espacios Ω 1,0 y Ω 0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomorfos. Es decir, para otras coordenadas w i , los elementos de Ω 1,0 se transforman tensóricamente , al igual que los elementos de Ω 0,1 . Por lo tanto, los espacios Ω 0,1 y Ω 1,0 definen fibrados vectoriales complejos en una variedad compleja. $dz$ $d{\bar {z))$

Grados superiores

El producto exterior de las formas diferenciales complejas se define de la misma manera que para las formas reales. Sean p y q un par de enteros no negativos ≤ n . El espacio Ω p,q ( p , q )-formas se define tomando combinaciones lineales de productos de cuña de p elementos de Ω 1,0 y q elementos de Ω 0,1 . Como en el caso de las formas 1, son estables bajo cambios holomorfos en coordenadas y, por lo tanto, definen paquetes de vectores.

Si E k es el espacio de todas las formas diferenciales complejas de grado completo k , entonces cada elemento de E k puede expresarse de forma única como una combinación lineal de elementos de entre los espacios Ω p, q con p + q = k . Es decir, hay una expansión directa de la suma

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^ {0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

Debido a que esta descomposición de suma directa es estable bajo cambios holomorfos en coordenadas, también define una descomposición de paquetes vectoriales.

En particular, para todo k y todo p y q con p + q = k , existe una proyección canónica de fibras vectoriales

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

Operadores de Dolby

La derivada externa ordinaria determina la visualización de las secciones . Usando d y las proyecciones definidas en la subsección anterior, se pueden definir los operadores de Dolbeault : $d:E^{r}\a E^{r+1}$

\parcial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\parcial} }=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

Describamos estos operadores en coordenadas locales. Dejar

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega^{p,q}

donde I y J son multiíndices . Después

\parcial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\parcial f_{IJ)){\parcial z^{\ell ))}\ ,dz^{\ell }\cuña dz^{I}\cuña d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\parcial}}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell}}{\frac {\parcial f_{IJ}}{\parcial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

Darse cuenta de

d=\parcial +{\bar {\parcial))

\parcial ^{2}={\bar {\parcial}}^{2}=\parcial {\bar {\parcial}}+{\bar {\parcial}}\parcial =0.

Estos operadores y sus propiedades se utilizan en la definición de la cohomología de Dolbeault y otros aspectos de la teoría de Hodge .

Formas holomorfas

Para cada p , una forma p holomorfa es una sección holomorfa del paquete Ω p,0 . Por lo tanto, en coordenadas locales, la forma p holomorfa se puede escribir como

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

donde son funciones holomorfas. De manera equivalente, y debido a la independencia del complejo conjugado , la forma ( p , 0) α es holomorfa si y solo si ${\ Displaystyle f_ {yo}}$

{\bar {\parcial}}\alpha =0.

El haz de formas p holomorfas a menudo se escribe Ω p , aunque esto a veces puede generar confusión, por lo que muchos autores tienden a usar otras notaciones.

Véase también

diferencial abeliano

Literatura

Griffiths F., Harris J. Principios de geometría algebraica: Per. del inglés.- M . : Mir, 1982.