Teoría de Hodge

La teoría de Hodge se ocupa del estudio de formas diferenciales en variedades suaves . Más concretamente, esta teoría estudia cómo el laplaciano generalizado asociado a una métrica riemanniana sobre una variedad M afecta a sus grupos de cohomología con coeficientes reales.

Esta teoría fue desarrollada por William Hodge en la década de 1930 como una generalización de la cohomología de De Rham . La teoría de Hodge tiene aplicaciones importantes en tres niveles:

En los primeros artículos, se suponía que la variedad M era cerrada (es decir, compacta y sin límite). En los tres niveles, la teoría tuvo una gran influencia en el trabajo posterior, siendo utilizada por Kunihiko Kodaira y, más tarde, por muchos otros.

Aplicaciones y ejemplos

Cohomología de De Rham

Hodge mismo formuló esta teoría para los complejos de Rham . Si M es una variedad orientable compacta dotada de una métrica suave g , y Ω k ( M ) es un haz de formas diferenciales suaves de grado k en M , entonces el complejo de Rham es una secuencia de operadores diferenciales

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

donde d k denota la derivada exterior en Ω k ( M ). Entonces la cohomología de De Rham es simplemente una secuencia de espacios vectoriales definidos como

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Es posible definir un operador formalmente conjugado a la derivada exterior (diferencial exterior) d , llamado codiferencial y denotado simplemente requiriendo que para todo α ∈ Ω k ( M ) y β ∈ Ω k +1 ( M ) la relación $\ delta :$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

donde es la métrica inducida en . Ahora el laplaciano se puede definir como . Esto nos permite definir espacios de formas armónicas: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Se puede demostrar que , entonces, hay un mapeo canónico . La primera parte del teorema de Hodge establece que es un isomorfismo de espacios vectoriales. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ $\varphi$

Una de las principales consecuencias de esto es que los grupos de cohomología de De Rham en una variedad compacta son de dimensión finita. Esto se sigue del hecho de que los operadores son elípticos y el núcleo de un operador elíptico en una variedad compacta es siempre de dimensión finita. $\Delta$

Teoría de Hodge para complejos elípticos

Estructuras de Hodge

La definición abstracta de las estructuras (reales) de Hodge es la siguiente: para un espacio vectorial real , la estructura de Hodge es la descomposición de su complejización en una suma directa graduada $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus_{k=0}^{\infty}\bigoplus_{p=0}^{k}W^{p,kp))

además, la conjugación compleja no reordena los términos graduados y : $W^{\mathbb {C} }$ $W ^ {{p, q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

La afirmación principal es que los grupos de cohomología singular con coeficientes reales de una variedad proyectiva compleja no singular tienen la siguiente estructura de Hodge: $H^{k}(V,\mathbb{R} )$ $V$

H^{k}=\oplus_{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

donde están los grupos de cohomología de Dolbeault de la variedad . Esto implica la relación entre los números de Betti y : $H ^ {{p, q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\sum_{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

La expansión de Hodge surgió originalmente de la teoría de las formas armónicas (vectores propios del laplaciano en el espacio de formas diferenciales ) generalizando funciones armónicas localmente constantes. Se demuestra que cada clase de cohomología singular puede ser representada por una única forma armónica, y que tal forma tiene necesariamente una bigradación bien definida (respecto a la acción del operador de estructura compleja). Esto implica la expansión de Hodge. Posteriormente, se obtuvo la descomposición de Hodge de forma puramente algebraica, utilizando la teoría de secuencias espectrales y grupos de cohomología de haces , en los trabajos de Dolbeault. $(p, q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

En el caso de variedades no compactas o variedades con singularidades , es necesario reemplazar la estructura de Hodge por una estructura de Hodge mixta , la cual se diferencia en que se reemplaza la descomposición de la cohomología singular en una suma directa por un par de filtraciones . Este caso se utiliza, por ejemplo, en la teoría de la monodromía .

Literatura

F. Griffiths, J. Harris. Principios de Geometría Algebraica. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 p. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 p. - 1000 copias. - ISBN 978-5-94057-514-6 .