Composición de funciones

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La composición ( superposición ) de funciones es la aplicación de una función al resultado de otra.

Composición de funciones y generalmente se denota [1] [2] , lo que significa aplicar una función al resultado de una función , es decir, . $F$ $GRAMO$ $G\circ F$ $GRAMO$ $F$ ${\ estilo de visualización (G \ circ F) (x) = G (F (x))}$

Definición

Sean dos funciones dadas y donde es la imagen del conjunto Entonces su composición es la función definida por la igualdad [3] : $F\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de texto G \ dos puntos F [X] \ a Z,}$ $F[X]\subseteq Y$ $X.$ $G\circ F\dos puntos X\a Z$

(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.

Definiciones relacionadas

El término " función compleja " se puede aplicar a la composición de dos funciones, cada una de las cuales tiene un argumento [4] . También se puede utilizar en una situación en la que varias funciones de una o más variables iniciales se alimentan a la entrada de una función de varias variables a la vez [5] . Por ejemplo, una función compleja de varias variables puede llamarse función de la forma $GRAMO$ $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

porque es una función cuya entrada son los resultados de las funciones y .

F

tu

v

Propiedades de la composición [3]

La composición es asociativa : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
Si es el mapeo de identidad en , es decir, $F={\matemáticas {id}}_{X}$ $X$ $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\para todas las x\en X,$

después

G\circ F=G.

Si es el mapeo de identidad en , es decir, $G={\matemáticas {id}}_{Y}$ $Y$ $G(y)=\mathrm {id}_{Y}(y)=y,\;\para todo y\en Y,$

después

G\circ F=F.

La composición de funciones , , es, en términos generales, no conmutativa , es decir, por ejemplo, funciones dadas , entonces, sin embargo , $F\dos puntos X\a X$ $G\dos puntos X\a X$ $F\circ G\not =G\circ F.$ $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

Propiedades adicionales

Supongamos que una función tiene un límite en un punto y una función tiene un límite en un punto . Entonces, si existe una vecindad perforada del punto , cuya intersección con el conjunto es mapeada por la función a la vecindad perforada del punto , entonces hay un límite de composición en el punto y se cumple la siguiente igualdad: $f\dos puntos X\a Y$ $a$ $\lim_{x \a}f(x) = b$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $b$ ${\ estilo de visualización \ lim _ {y \ to b} g (y)}$ $a$ $X$ $f\dos puntos X\a Y$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
Si la función tiene un límite en el punto y la función es continua en el punto , entonces hay un límite para la composición de funciones en el punto y se cumple la siguiente igualdad: $f\dos puntos X\a Y$ $a$ $\lim_{x \a}f(x) = b$ $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
La composición de funciones continuas es continua. Sean espacios topológicos . Sean y dos funciones, , y donde es el conjunto de todas las funciones cuya primera derivada existe en un punto dado. entonces _ $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ $f\dos puntos X\a Y$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $y_{0}=f(x_{0})$ ${\ estilo de visualización f \ en C (x_ {0})}$ $g\in C(y_{0}),$ $C$ $g\circ f\in C(x_{0})$

La composición de las funciones diferenciables es diferenciable. Sea , y . _ Entonces , y $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})

Notas

↑ Designación . Consultado el 10 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 24 de febrero de 2021. (indefinido)
↑ Composición de Funciones . www.mathsisfun.com . Consultado el 10 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2020. (indefinido)
↑ 1 2 Kostrikin, 2004 , pág. 37-38.
↑ Derivada de una función compleja . www.matemáticas24.ru _ Consultado el 10 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ funciones de varias variables . Consultado el 10 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2021. (indefinido)

Literatura

Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte 1. Fundamentos de álgebra. - 3ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0487-X.