Derivada de función

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de agosto de 2022; las comprobaciones requieren 3 ediciones . Este artículo describe las derivadas de funciones reales. Para la derivada de funciones complejas, consulte Análisis complejo .

La derivada de una función es un concepto en cálculo diferencial que caracteriza la tasa de cambio de una función en un punto dado. Se define como el límite de la razón del incremento de una función al incremento de su argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero , si tal límite existe. Una función que tiene una derivada finita (en algún punto) se llama diferenciable (en un punto dado).

El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación . El proceso inverso - hallar la antiderivada - integración .

Historia

En el cálculo diferencial clásico , la derivada se define con mayor frecuencia a través del concepto de límite , sin embargo, históricamente, la teoría de los límites apareció más tarde que el cálculo diferencial. Históricamente, la derivada se introdujo cinemáticamente (como velocidad) o geométricamente (determinada esencialmente por la pendiente de la tangente, en varias formulaciones específicas). Newton llamó a la derivada un flujo , denotando un punto sobre el símbolo de la función, la escuela de Leibniz prefirió el diferencial como concepto básico [1] .

El término ruso en la forma "función derivada" fue utilizado por primera vez por V. I. Viskovatov , quien tradujo al ruso el término francés correspondiente dérivée , utilizado por el matemático francés Lagrange [2] .

Definición

Si se define una función en algún entorno de un punto , la derivada de una función es un número tal que la función en el entorno se puede representar como $x_{0}\en \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subconjunto \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $A$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

si existe. $A$

Definición de la derivada de una función en términos del límite

Sea una función definida en alguna vecindad del punto , la derivada de la función en el punto se llama límite , si existe, $x_{0}\en \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subconjunto \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\a 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Notación convencional para la derivada de una función en un punto $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{{x=x_{0}}}={\dot {y}}(x_{0}).

Tenga en cuenta que este último generalmente denota la derivada con respecto al tiempo (en mecánica teórica y física, históricamente a menudo también).

Tabla de derivadas

Derivadas de funciones de potencia	Derivadas de funciones trigonométricas	Derivadas de funciones trigonométricas inversas	Derivadas de funciones hiperbólicas
${\ estilo de visualización \ izquierda (c \ derecha) ^ {(n)} = 0}$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arcsen x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\tanh x)'=\operatorname {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln un}}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\coth x)'=-\operatorname {csch} x$
	$\left(\operatorname {seg} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n))))$

Diferenciabilidad

La derivada de una función en un punto , al ser un límite, puede no existir, o puede existir y ser finita o infinita. Una función es diferenciable en un punto si y solo si su derivada en ese punto existe y es finita: $f'(x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $F$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

Para una función diferenciable en una vecindad , se cumple la siguiente representación: $x_{0}$ $F$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

x\a x_{0}.

Notas

Llamemos al incremento del argumento de la función, y /o al incremento del valor de la función en el punto Entonces $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Deje que la función tenga una derivada finita en cada punto Entonces la función derivada se define $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ $x_{0}\en(a,b).$ $f'\colon (a,b)\to \mathbb{R} .$
Una función que tiene derivada en un punto es continua en ese punto. Lo contrario no siempre es cierto.
Si la función derivada es en sí misma continua, entonces la función se llama continuamente diferenciable y se escribe: $F$ $f\in C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Significado geométrico y físico de la derivada

La tangente de la pendiente de una recta tangente

Si una función tiene una derivada finita en un punto, entonces en una vecindad se puede aproximar mediante una función lineal $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

La función se llama tangente a en el punto El número es la pendiente ( pendiente de la tangente) o la tangente de la pendiente de la recta tangente. $Florida}$ $F$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

La tasa de cambio de la función

Sea la ley del movimiento rectilíneo . Luego expresa la velocidad instantánea de movimiento en el momento del tiempo . La nueva función también tiene una derivada. Este llamado. la segunda derivada, denotada como , y la función expresa la aceleración instantánea en el tiempo $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ ${\ estilo de visualización s''(t)}$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

En general, la derivada de una función en un punto expresa la tasa de cambio de la función en un punto , es decir, la tasa del proceso descrito por la dependencia $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Derivados de órdenes superiores

El concepto de derivada de orden arbitrario se da recursivamente . Creemos

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Si la función es derivable en , entonces la derivada de primer orden está definida por la relación $F$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Dejemos ahora que la derivada de orden th se defina en alguna vecindad del punto y sea diferenciable. Después $norte$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\right)'(x_{0}).

En particular, la segunda derivada es la derivada de la derivada:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Si una función tiene una derivada parcial con respecto a una de las variables en algún dominio D , entonces la derivada nombrada, siendo ella misma una función de , puede tener derivadas parciales con respecto a la misma o cualquier otra variable en algún punto . Para la función original, estas derivadas serán derivadas parciales de segundo orden (o segundas derivadas parciales). ${\ estilo de visualización u = f (x, y, z)}$ ${\ estilo de visualización x, y, z,}$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ estilo de visualización u = f (x, y, z)}$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

{\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}={\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\parcial x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x\parcial y))={\frac {\parcial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\x parcial\y parcial}}

La derivada parcial de segundo o mayor orden tomada con respecto a diferentes variables se llama derivada parcial mixta . Por ejemplo,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

La clase de funciones cuya derivada de orden es continua se denota como . $norte$ ${\ estilo de visualización C ^ {(n)}}$

Formas de escribir derivadas

Dependiendo de los objetivos, el campo de aplicación y el aparato matemático utilizado, se utilizan varios métodos de escritura de derivadas. Entonces, la derivada del orden n se puede escribir en las notaciones:

Lagrange , mientras que para los trazos de n pequeña y los números romanos se utilizan a menudo : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

etc.

Tal notación es conveniente en su brevedad y ampliamente distribuida; sin embargo, se permite que los trazos no denoten más que la tercera derivada.

Leibniz , una representación visual conveniente de la razón de infinitesimales (solo si es una variable independiente; de lo contrario, la notación es válida solo para la derivada de primer orden): $X$

{\frac{d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , que se usa a menudo en mecánica para la derivada temporal de la función de coordenadas (para la derivada espacial, se usa con más frecuencia la notación de Lagrange). El orden de la derivada está indicado por el número de puntos sobre la función, por ejemplo:

{\punto {x}}(t_{0})

es la derivada de primer orden con respecto a at , o es la derivada segunda con respecto a at un punto , etc.

X

t

t=t_{0}

{\ddot {f}}(x_{0})

F

X

x_{0}

Euler , que utiliza un operador diferencial (estrictamente hablando, una expresión diferencial hasta que se introduce el espacio funcional correspondiente), y por lo tanto conveniente en cuestiones relacionadas con el análisis funcional :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

, oa veces .

\parcial ^{n}\!f(x_{0})

En el cálculo de variaciones y física matemática , la notación , se utiliza a menudo ; por el valor de la derivada en el punto - . Para las derivadas parciales, la notación es la misma, por lo que el significado de la notación se determina a partir del contexto. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Eso sí, no hay que olvidar que todos sirven para designar los mismos objetos:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ sobrebrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{veces}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{veces}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Ejemplos

deja _ Después $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits_{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim\limits_{{x\to x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim\limits_{{x\to x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

deja _ entonces si entonces $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\nombre del operador{signo} x_{0},

donde denota la función de signo de . Y si entonces a por lo tanto no existe. $\operatorname{signo}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Teoremas relacionados con la diferenciación

Para funciones continuas en el intervalo , derivables en el intervalo , son válidas las siguientes: $f, g$ $[a,b]$ $(a, b)$

Lema Fermat . Sitoma el valor máximo o mínimo en el puntoy existe, entonces. $F$ $C$ ${\ estilo de visualización f' (c)}$ $f'(c)=0$

Teorema de la derivada cero . Si mismos valoresen los extremos del segmento hay al menos un punto en el intervalo en el que la derivada de la función es igual a cero. $F$ $[a,b]$ $(a, b)$

Fórmula de incremento finito . Porquehay un puntotal que. $F$ ${\ estilo de visualización c \ en (a, b)}$ ${\frac{f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Teorema del valor medio de Cauchy . Sino es igual a cero en el intervalo, entonces hay un puntotal que. $gramo'$ $(a, b)$ ${\ estilo de visualización c \ en (a, b)}$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

Regla de L´Hopital . Sio, ypara algunode algún barrio pinchadoy existe, entonces. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $X$ $C$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(X)}}$

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al realizar esta operación, a menudo hay que trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como con "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. Con base en la definición de la derivada, podemos derivar reglas de diferenciación que facilitan este trabajo. Si es un número constante y son algunas funciones diferenciables, entonces se cumplen las siguientes reglas de diferenciación: $C$ ${\ estilo de visualización f = f (x), g = g (x)}$

$C'=0$
$x'=1$
$\izquierda(f+g\derecha)'=f'+g'$ [3]

Prueba

${\ estilo de visualización y (x) = f (x) + g (x)}$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x ))}{\Deltax}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim_{\Delta x\to 0} {\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

${\ estilo de visualización = f'(x)+g'(x)}$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [cuatro]

Prueba

${\ estilo de visualización y (x) = f (x) g (x)}$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Deltax}}=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x)))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

${\ estilo de visualización =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Prueba

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)))$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)))-{\frac {f(x) {g(x)}}}{\Deltax}}=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x )g(x)\Deltax}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Si la función se establece paramétricamente:

$\left\{{\begin{matriz}x=x(t),\\y=y(t),\end{matriz}}\;\;t\en \left[T_{1};T_{2 }\bien bien.$ , después $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
Las fórmulas del producto derivado y de la razón se generalizan al caso de diferenciación de n veces ( fórmula de Leibniz ):

(fg)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

donde son los coeficientes binomiales .

C_{n}^{k}

Las siguientes propiedades de la derivada sirven como adición a las reglas de diferenciación:

si una función es diferenciable en el intervalo , entonces es continua en el intervalo . Lo contrario generalmente no es cierto (por ejemplo, una función en ); $(a, b)$ $(a, b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
si la función tiene un máximo/mínimo local cuando el valor del argumento es igual a , entonces (este es el llamado lema de Fermat ); $X$ $f'(x)=0$
la derivada de esta función es única, pero diferentes funciones pueden tener las mismas derivadas.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Prueba

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\right)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Tabla de derivadas de algunas funciones

Función $f(x)$	Derivado $f'(x)$	Nota
${\ estilo de visualización x ^ {\ alfa}}$	${\ estilo de visualización \ alfa \ cdot x^{\ alfa -1))$	Prueba Arreglamos e incrementamos el argumento . Calculemos el incremento de la función: , entonces Ver $x\in {\mathbb{D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-una)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alfa \cdot x^{{\alfa -1}}$
$un ^ {x}$	$a^{x}\cdot\ln {a}$	Prueba Arreglamos e incrementamos el argumento . Calculemos el incremento de la función: , entonces Ver $x\in {\mathbb{D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \n {a}$
${\ estilo de visualización \ log _ {a} {x}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {x \ cdot \ ln {a}}}}$	Prueba $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ Aprendemos la derivada a través de la derivada de la función inversa : ${\ estilo de visualización \ ln {x))$ $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\ fracción {1}{x}}$ Obtenemos: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$
$\sin x$	$\cos x$	Prueba Arreglamos e incrementamos el argumento . Calculemos el incremento de la función: , entonces ( Ver ) $x\in {\mathbb{D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sen({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=cos(x)$
$\cos x$	${\ estilo de visualización - \ sen x}$	Prueba Arreglamos e incrementamos el argumento . Calculemos el incremento de la función: , entonces ( Ver ) $x\in {\mathbb{D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sen(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim_{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=-sin(x)$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {tg} \ x}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {x}}}}$	Prueba 1 Arreglamos e incrementamos el argumento . Calculemos el incremento de la función: , entonces ( Ver ) $x\in {\mathbb{D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim_{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( X)}}$ Prueba 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) {cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {ctg} \ x}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ pecado ^ {2} {x}}}}$	Prueba $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x))))'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sen^{2}(x)}}=-{\frac {sen^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sen^{2}(x)))=-{\frac {1}{sen^{2}(x)}}$
$\mathrm {seg} \x$	$\mathrm {seg} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Prueba $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=seg(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {coseg} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Prueba $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x))))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
${\ estilo de visualización \ arco sin {x}}$	${\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arcoseno usando funciones mutuamente inversas. Después de lo cual debemos tomar la derivada de estas dos funciones. Ahora debemos expresar la derivada del arcoseno. Con base en la identidad trigonométrica ( ) - obtenemos. Para comprender más o menos, debe observar el rango de valores de coseno. Como el coseno está en los cuadrantes 2 y 4, resulta que el coseno es positivo. Resulta. $sin(arcosen((x))=x$ $[sin(arcosen((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcosen(x))'={\frac {1}{cos(arcosen(x))))$ $sen^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsen(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arcocoseno usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada del arcocoseno. Resulta. $arcosen(x)+arcocos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcosen(x)+arcos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcosen(x))'+(arcos(x))'=0$ $(arcos(x))'=-(arcosen(x))'$ $(arcos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arctg} \ x}$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arco tangente usando la función recíproca: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora debemos expresar la derivada del arco tangente: Ahora la identidad ( ) vendrá en nuestra ayuda : Resulta. $tg(arctg(x))=x$ ${\ estilo de visualización [tg (arctg (x))] '= 1}$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arcctg} \ x}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$	Prueba Puedes encontrar la derivada de la tangente inversa usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada de la tangente inversa. Resulta. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ ${\ estilo de visualización (arctg(x))'+(arctg(x))'=0}$ ${\ estilo de visualización (arctg(x))'=-(arctg(x))'}$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ mathrm {arcsec} \ x}$	${\frac{1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Prueba Puedes encontrar la derivada de la arcsecante usando la identidad: $arcsec(x)=arcos({\frac {1}{x)))$ Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. $(arcsec(x))'=(arcos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 {x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Resulta. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec}\x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arco cosecante usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada del arcocoseno. Resulta. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcosec(x))'+(arcosec(x))'=0$ $(arcosec(x))'=-(arcosec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {sh} \ x}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {ch} \ x}$	Prueba $(\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\nombre del operador {ch} {x}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {ch} \ x}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {sh} \ x}$	Prueba $(\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\nombre del operador {sh} {x}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {th} \ x}$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Prueba $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) {ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {cth} \ x}$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Prueba $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x))))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 {sh^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {sch} \ x}$	$-{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\operatorname {ch} ^{2}(x)))$	Prueba $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x))))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {csch} \ x}$	$-{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)))$	Prueba $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x) ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arsh} \ x}$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}}}$	Prueba ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac{1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arco} \x$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$	Prueba ${\displaystyle (arco(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac{1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Prueba $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl)}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arco} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Prueba $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl)}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac{1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {análisis} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2)))))))))$

Derivada de una función vectorial con respecto a un parámetro

Definamos la derivada de la función vectorial con respecto al parámetro: ${\ matemáticas {r}} (t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf{r}}(t)}{h}}

Si existe una derivada en un punto, se dice que la función vectorial es diferenciable en ese punto. Las funciones de coordenadas para la derivada serán . $t$ $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$

Propiedades de la derivada de una función vectorial (en todas partes se supone que existen derivadas):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — aquí hay una función escalar diferenciable . $pie)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenciación del producto escalar .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ matemáticasbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — diferenciación del producto vectorial .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ fracción {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ es la diferenciación del producto mixto .

Formas de establecer derivadas

Derivada de Jackson [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Variaciones y generalizaciones

Generalizaciones de derivadas

Véase también

Notas

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Álgebra y el comienzo del análisis. Libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria. - M., Educación, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G. D. , Levshin B. V., Semenov L. K. Academia de Ciencias de la URSS. Breve ensayo histórico (en dos tomos). - 2ª ed. - M. : Ciencia , 1977. - T. 1. 1724-1917. - art. 173.
↑ La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas
↑ De esto, en particular, se sigue que la derivada del producto de una función y una constante es igual al producto de la derivada de esta función y la constante
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a y IA Shuda. Teorías estadísticas de campos deformadas dentro de diferentes cálculos . Consultado el 21 de abril de 2014. Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2017. (indefinido)

Literatura

Vilenkin N., Mordkovich A. ¿Qué es un derivado? // Kvant. - 1975. - Nº 12 .
V. G. Boltyansky , ¿Qué es la diferenciación?, " Conferencias populares sobre matemáticas ", Número 17, Gostekhizdat 1955, 64 págs.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich "Matemáticas"
G. M. Fikhtengolts "Curso de cálculo diferencial e integral ", Volumen 1
V. M. Borodikhin , Matemáticas superiores , libro de texto. manual, ISBN 5-7782-0422-1

Enlaces

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego gran ruso alrededor del mundo Britannica (en línea) Treccani
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564