Prueba constructiva

Una prueba constructiva es una prueba en la que la existencia de un objeto matemático se prueba por construcción directa, a diferencia de una prueba no constructiva (también conocida como teorema de existencia pura ), que prueba la existencia de un objeto con ciertas propiedades sin proporcionar un ejemplo concreto.

Las matemáticas constructivas rechazan todo menos la prueba constructiva. Esto conduce a una restricción de los métodos de prueba admisibles (en particular, no se utiliza la ley del tercero excluido ), así como a una comprensión diferente de los términos. Por ejemplo, el término "o" tiene un significado más fuerte en las matemáticas constructivas que en las matemáticas clásicas.

A veces se utiliza el término equivalente "prueba eficaz" [1] .

Ejemplos

Infinidad de números primos

Primero, considere el teorema de que hay un número infinito de números primos . La demostración de Euclides es constructiva.

Sin embargo, la simplificación común de esta prueba, que se lleva a cabo por contradicción a partir de la suposición de que solo hay un número finito de números primos, no es constructiva.

Prueba no constructiva

Supongamos que M es el número primo más grande. Entonces M! + 1 no es divisible por ninguno de los primos disponibles y, por lo tanto, es un nuevo primo.

prueba constructiva

Tomemos algún número primo, por ejemplo, a 1 = 2 . ¡Construimos una secuencia a 2 = 2! + 1 , un 3 = un 2 ! + 1 , etc. Todos estos números serán primos.

El grado irracional de lo irracional

Ahora considere el teorema

Hay números irracionales y los que son racionales . $a$ $b$ $un ^ {b}$

Este teorema se puede demostrar de manera constructiva y no constructiva.

Prueba no constructiva

La siguiente prueba de Dov Jarden de 1953 ha sido ampliamente utilizada como ejemplo de prueba no constructiva desde al menos 1970 [2] .

Recordemos que es irracional . Tenga en cuenta que es racional o irracional. Si es racional, entonces el teorema es verdadero, con y . Si es irracional, entonces el teorema es verdadero, con y desde ${\ sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}$ $b={\raíz cuadrada {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\raíz cuadrada {2}}^{{{\raíz cuadrada {2}}}}$ $b={\raíz cuadrada {2}}$

({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

Esta prueba no es constructiva porque se basa en la afirmación de que cualquier número es racional o irracional. Este es un ejemplo de la aplicación de la ley del tercero excluido , que no es válida bajo prueba constructiva.

Tenga en cuenta que la prueba no constructiva no da un ejemplo de y ; solo da algunas posibilidades (dos en este caso) y muestra que una de ellas es el ejemplo deseado, pero no dice cuál. $a$ $b$

De hecho, irracional por el teorema de Gelfond-Schneider , pero este hecho no tiene nada que ver con la validez de la prueba no constructiva anterior. ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$

prueba constructiva

Dejar

a={\sqrt {2)),\quad b=\log _{2}9,\quad {\text{entonces))\quad a^{b}=3.

Ambos números son irracionales; es la raíz cuadrada de 2 y si , entonces , lo cual es imposible, ya que el primer número es impar y el segundo es par. $a$ $b={\tfrac{m}{n))$ ${\ estilo de visualización 3^{2\cdot n}=2^{m))$

Véase también

Notas

↑ La práctica es el criterio de verdad en la ciencia. - M. : Editorial de literatura socioeconómica, 1960. - P. 151.
↑ Dov Jarden. Una prueba simple de que una potencia de un número irracional a un exponente irracional puede ser racional // Scripta Mathematica. - 1953. - No. 19 _ — Pág. 229 .