Prueba matemática

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 31 de agosto de 2022; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

Prueba matemática
Estudió en	teoría de la evidencia
Propósito del proyecto o misión	teorema

Archivos multimedia en Wikimedia Commons

Prueba matemática : razonamiento para justificar la verdad de un enunciado ( teorema ) [2] , una cadena de conclusiones lógicas que muestra que, sujeto a la verdad de un determinado conjunto de axiomas y reglas de inferencia , el enunciado es verdadero. Dependiendo del contexto, esto puede significar una prueba dentro de un determinado sistema formal (una secuencia de declaraciones construidas de acuerdo con reglas especiales, escritas en un lenguaje formal ) o un texto en lenguaje natural , a partir del cual, si es necesario, se puede restaurar una prueba formal. . La necesidad de una prueba formal de enunciados es uno de los principales rasgos característicos de las matemáticas como rama deductiva del conocimiento, respectivamente, el concepto de prueba juega un papel central en el tema de las matemáticas , y la disponibilidad de pruebas y su la corrección determina el estado de cualquier resultado matemático .

A lo largo de la historia de las matemáticas , la idea de los métodos y métodos aceptables de prueba ha cambiado significativamente, principalmente en la dirección de una mayor formalización y mayores restricciones. Un hito clave en el tema de la formalización de la prueba fue la creación de la lógica matemática en el siglo XIX y su formalización mediante técnicas básicas de prueba. En el siglo XX se construyó la teoría de la prueba , una teoría que estudia la prueba como un objeto matemático . Con la llegada de las computadoras en la segunda mitad del siglo XX, el uso de métodos de prueba matemática para verificar y sintetizar programas cobró especial importancia , e incluso se estableció una correspondencia estructural entre los programas de computadora y las pruebas matemáticas ( Correspondencia de Curry-Howard ), en base a los cuales medios de prueba automática .

Las principales técnicas utilizadas en la construcción de demostraciones: demostración directa , inducción matemática y sus generalizaciones , demostración por contradicción , contraposición , construcción , enumeración , establecimiento de una biyección , cuenta doble ; en las aplicaciones , como pruebas matemáticas, también se utilizan métodos que no dan una prueba formal, pero aseguran la aplicabilidad práctica del resultado - probabilístico, estadístico, aproximado. Dependiendo de la rama de las matemáticas, el formalismo utilizado o la escuela de matemáticas, no todos los métodos pueden ser aceptados incondicionalmente, en particular, la demostración constructiva implica serias limitaciones.

La importancia de la demostración en matemáticas

A diferencia de otras ciencias, la evidencia empírica es inaceptable en matemáticas: todos los enunciados se prueban exclusivamente por medios lógicos. La intuición matemática y las analogías entre diferentes objetos y teoremas juegan un papel importante en las matemáticas; sin embargo, todos estos medios son utilizados por los científicos solo cuando buscan evidencia, la evidencia en sí misma no puede basarse en tales medios. Las pruebas escritas en lenguajes naturales pueden no ser muy detalladas, con la expectativa de que el lector capacitado pueda reconstruir los detalles por sí mismo. El rigor de la prueba está garantizado por el hecho de que puede representarse en forma de registro en un lenguaje formal (esto es lo que sucede cuando una computadora verifica pruebas).

Estado de aprobación

Los enunciados probados en matemáticas se denominan teoremas (en los textos matemáticos, generalmente se supone que alguien ha encontrado la prueba; las excepciones a esta costumbre son principalmente los trabajos sobre lógica, en los que se explora el concepto mismo de prueba); si ni el enunciado ni su negación han sido probados, entonces tal enunciado se llama hipótesis . A veces, en el proceso de demostración de un teorema, se destacan demostraciones de enunciados menos complicados, llamados lemas .

Algunos enunciados matemáticos se conocen tradicionalmente con nombres que no corresponden a su estado real. Por lo tanto, el último teorema de Fermat nunca fue llamado la hipótesis de Fermat, incluso antes de su demostración por Andrew Wiles . Por otra parte, la conjetura de Poincaré sigue llevando este nombre incluso después de su demostración por G. Ya. Perelman .

Una prueba errónea es un texto que contiene errores lógicos, es decir, uno del cual es imposible restaurar una prueba formal. En la historia de las matemáticas, ha habido casos en los que científicos destacados publicaron "pruebas" incorrectas, pero por lo general sus colegas o ellos mismos encontraron errores rápidamente (uno de los teoremas que se prueban incorrectamente con más frecuencia es el último teorema de Fermat . Todavía hay personas que no saber que ha sido probado, y ofreciendo nuevas "pruebas" falsas [3] [4] ). Sólo puede ser erróneo reconocer como evidencia "prueba" en lenguaje natural o formal; una prueba formal no puede ser incorrecta por definición.

Historia

Antigüedad

En los países del Antiguo Oriente ( Babilonia , Antiguo Egipto , Antigua China ), la solución de los problemas matemáticos se daba, por regla general, sin justificación y era dogmática , aunque la justificación gráfica del teorema de Pitágoras se puede encontrar en las tablillas cuneiformes babilónicas. [5] . El concepto de prueba no existía en la antigua Grecia en los siglos VIII-VII a.C. mi. Sin embargo, ya en el siglo VI a.C. mi. en Grecia, la prueba lógica se convierte en el método principal para establecer la verdad. En esta época se construyeron las primeras teorías matemáticas y modelos matemáticos del mundo, los cuales tenían un aspecto completamente moderno, es decir, se construyeron a partir de un número finito de premisas utilizando conclusiones lógicas.

Las primeras demostraciones usaban las construcciones lógicas más simples. En particular , Tales de Mileto , quien demostró que el diámetro divide el círculo por la mitad, los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales, dos líneas que se cruzan forman ángulos iguales, aparentemente usó los métodos de doblar y superponer figuras en sus pruebas. Según el filósofo griego Proclo (siglo V d. C.) , "A veces consideraba el tema de manera algo general, a veces confiando en la claridad " . Ya bajo Pitágoras , la demostración pasa de las ideas concretas a las conclusiones puramente lógicas [6] . En las demostraciones de Parménides , se utiliza la ley del tercero excluido , y su alumno Zenón utiliza la reducción al absurdo en las aporías [7] .

Se sabe que la prueba de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado, que es la base del concepto de irracionalidad , muy probablemente pertenece a los pitagóricos , aunque primero se dio solo en los Elementos de Euclides (X), proviene de lo contrario y se basa en la teoría de la divisibilidad de los números por dos [8] . Es posible que la divergencia de puntos de vista sobre el papel de la demostración matemática fuera una de las razones del conflicto entre Eudoxo (a quien se considera el fundador de la tradición de organizar las matemáticas en forma de teoremas , pero que no recurrió a las demostraciones en principio [9] ) y Platón [10] .

Un momento importante en el camino hacia la futura formalización de las demostraciones matemáticas fue la creación de la lógica de Aristóteles , en la que trató de sistematizar y codificar todas las reglas de razonamiento utilizadas para las demostraciones, describió las principales dificultades y ambigüedades emergentes. Aristóteles asumió que la evidencia era un componente importante de la ciencia, creyendo que la prueba "revela la esencia de las cosas" [11] . Pero la lógica aristotélica no tuvo un impacto directo en las matemáticas griegas antiguas, y no se prestó atención a las cuestiones de la lógica formal en las demostraciones [12] .

Edad Media y Moderna

Con el desarrollo de las matemáticas en la Edad Media y la confianza en la lógica adoptada de la escolástica , las ideas sobre la prueba formal se construyen gradualmente y se desarrollan sus métodos. Gersonides incluyen la justificación y la puesta en práctica del método de inducción matemática [13] . Desde el siglo XVI, ha habido intentos separados de comprender críticamente las pruebas de los antiguos matemáticos griegos, por ejemplo, Peletier , comentando los "Elementos" de Euclides, critica la prueba de la igualdad de los triángulos por desplazamiento [14] .

En la época moderna, gracias al éxito de la aplicación de las matemáticas en las ciencias naturales, los enunciados y demostraciones matemáticas se consideraban fiables en cuanto se daba una definición precisa y formal de los conceptos iniciales, y las matemáticas en su conjunto se consideraban un modelo de rigor y evidencia para todas las demás disciplinas. En particular, Leibniz considera inquebrantables los axiomas y las reglas de inferencia y busca construir un sistema formal de lógica para "demostrar todo lo que puede ser probado" [15] . Sin embargo, aún en el siglo XVIII, el concepto de prueba era todavía demasiado informal y especulativo, prueba de ello puede ser el hecho de que Euler consideró justificadas simultáneamente las siguientes afirmaciones:

\sum _{{n=0}}^{\infty}{1-(n\nombre del operador {mod}2)\cdot 2}=0

y ,

\sum _{{n=1}}^{\infty}{1-(n\nombre del operador {mod}2)\cdot 2}=1

tanto como:

\sum _{{n=0}}^{\infty}{2^{n}}=-1

entendiendo, por supuesto, la falta de sentido de estas declaraciones, pero considerando sus paradojas de "probabilidad" [16] .

En el siglo XIX, cada vez con más frecuencia surgen ideas de la necesidad de postular algunas reglas intuitivamente obvias que no pueden demostrarse de manera formal. Otro ímpetu para comprender la relatividad de las pruebas que dependen de los principios postulados después de muchos siglos de intentos fallidos de probar el axioma del paralelismo de Euclides fue la creación de Lobachevsky , Bolyai , Gauss y Riemann de geometrías no euclidianas [17] .

Formalización de la lógica y el programa de Hilbert

Intuicionismo

Teoremas de incompletitud

Constructivismo

Prueba formal

Cuando hablan de prueba formal, en primer lugar, describen un modelo formal : un conjunto de axiomas , escritos usando un lenguaje formal y reglas de inferencia. Una derivación formal es un conjunto ordenado finito de líneas escritas en un lenguaje formal, de modo que cada una de ellas es un axioma o se obtiene de líneas anteriores aplicando una de las reglas de inferencia. Una prueba formal de un enunciado es una derivación formal, cuya última línea es el enunciado dado. Un enunciado que tiene una prueba formal se denomina teorema , y el conjunto de todos los teoremas en un modelo formal dado (considerado junto con el alfabeto del lenguaje formal, los conjuntos de axiomas y las reglas de inferencia) se denomina teoría formal .

Una teoría se llama completa si para cualquier enunciado él o su negación son demostrables, y consistente si no hay enunciados en él que puedan probarse junto con sus negaciones (o, de manera equivalente, si hay al menos un enunciado no demostrable en él). La mayoría de las teorías matemáticas "suficientemente ricas", como lo muestra el primer teorema de incompletitud de Gödel , son incompletas o inconsistentes. El conjunto de axiomas más común en nuestro tiempo es el axioma de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (aunque algunos matemáticos se oponen al uso de este último). Una teoría basada en este sistema de axiomas no está completa (por ejemplo, la hipótesis del continuo no se puede probar ni refutar en él, suponiendo que esta teoría sea consistente). A pesar del uso generalizado de esta teoría en matemáticas, su consistencia no puede probarse por sus propios métodos. Sin embargo, la gran mayoría de los matemáticos creen en su consistencia, creyendo que de lo contrario las contradicciones se habrían descubierto hace mucho tiempo.

Teoría de la evidencia

Las demostraciones formales están a cargo de una rama especial de la teoría de las demostraciones matemáticas . Las pruebas formales en sí mismas casi nunca son utilizadas por las matemáticas, ya que son muy complejas para la percepción humana y, a menudo, ocupan mucho espacio.

En informática

En informática , las pruebas matemáticas se utilizan para verificar y analizar la corrección de algoritmos y programas (ver lógica en informática ) en el marco de las tecnologías de programación basadas en evidencia.

Métodos de prueba formal

Prueba directa

La prueba directa implica el uso de solo inferencia deductiva directa a partir de enunciados que se consideran verdaderos (axiomas, lemas y teoremas previamente probados), sin el uso de juicios con la negación de ningún enunciado [18] . Por ejemplo, para la prueba directa, las siguientes cifras se consideran aceptables (en notación de deducción natural ) :

{\ fracción {A,B}{A}}

, , ( modus ponens ).

{\frac {A\Flecha derecha B,B\Flecha derecha C}{A\Flecha derecha C}}

{\frac{A,A\Flecha derecha B}{B}}

La sustitución también se considera un método de prueba directa: si la declaración es verdadera para cualquier valor de las variables libres incluidas en ella, entonces la sustitución de cualquier valor específico en lugar de algún subconjunto de ellos en todas las ocurrencias ( un caso especial de la fórmula ) da la declaración correcta, en la notación de derivación natural (notación informal, simplificada a una sola variable): $A$

{\frac {\para todo x\,A(x)}{A[x:=a]}}

En algunos casos, las pruebas indirectas que usan razonamiento negativo, especialmente para objetos finitos, pueden reducirse fácilmente a pruebas directas sin pérdida de generalidad, pero esto está lejos de ser siempre el caso para afirmaciones sobre colecciones infinitas, y con el valor creciente de las pruebas constructivas en En las matemáticas del siglo XX se considera importante encontrar evidencia directa para enunciados que se consideraban probados, pero por métodos indirectos.

En la teoría de la prueba, se ha desarrollado una definición formal de prueba directa [19] .

Inducción

El método inductivo , que permite pasar de enunciados particulares a enunciados universales, es más interesante cuando se aplica a colecciones infinitas de objetos, pero su formulación y aplicabilidad difieren significativamente según el ámbito de aplicación.

El método inductivo más simple [20] es la inducción matemática , una conclusión sobre la serie natural , cuya idea es afirmar una cierta ley para todos los números naturales, basada en los hechos de su implementación para la unidad y la siguiente verdad para cada uno. número subsiguiente, en la notación de una conclusión natural:

{\frac {P(1),\forall n\in {\mathbb N}(P(n)\Rightarrow P(n+1))}{\forall n\in {\mathbb N}(P(n) )}}

El método de inducción matemática se puede aplicar naturalmente a cualquier colección contable de objetos; se considera fiable y legítimo tanto en los sistemas de prueba clásicos como en los intuicionistas y constructivos. El método está axiomatizado en el sistema de axiomas de la aritmética de Peano .

Una pregunta más difícil es si el método inductivo se puede extender a colecciones incontables . En el marco de la teoría ingenua de conjuntos , se creó el método de inducción transfinita , que permite extender la regla de inferencia inductiva para cualquier conjunto bien ordenado según un esquema similar a la inducción matemática. Se encuentra la posibilidad de utilizar razonamientos de tipo inductivo para colecciones incontables y en lógica intuicionista , conocida como inducción de barras [21] .

Existe un método constructivo de inducción estructural , que permite aplicar la inducción a colecciones de objetos bien ordenadas, pero sujetas a su definición recursiva .

Al contrario

La prueba por contradicción utiliza el método lógico de llevar al absurdo y se construye según el siguiente esquema: para probar el enunciado se supone que es falso, y luego, a lo largo de la cadena deductiva, se llega a un afirmación deliberadamente falsa, por ejemplo, a partir de la cual, según la ley de la doble negación , se llega a una conclusión sobre la verdad , en notaciones de inferencia natural: $A$ $B\tierra\neg B$ $A$

{\frac {\neg A\Rightarrow (B\land \neg B)}{A)).

Sería mucho mejor escribirlo así. Un esquema de prueba por contradicción es un esquema:

{\dfrac {\begin{matriz}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matriz}}{\mathcal {A}}}}.

Se formaliza el método de prueba por contradicción.

En los sistemas intuicionistas y constructivos no se utiliza la prueba por contradicción, ya que no se acepta la ley de la doble negación.

comentario _ Este esquema es similar a otro, al esquema de prueba por reducción al absurdo . Como resultado, a menudo se confunden. Sin embargo, a pesar de algunas similitudes, tienen una forma diferente. Además, difieren no solo en forma, sino también en esencia, y esta diferencia es de naturaleza fundamental.

Contraposición

La prueba contraposicional utiliza la ley de la contraposición y consiste en lo siguiente: para probar el hecho de que sesiguerequiere demostrar que de una negación sesigue una negación, en el simbolismo de una conclusión natural: $A$ $B$ $B$ $A$

{\frac {\neg B\Flecha derecha \neg A}{A\Flecha derecha B))

La prueba contraposicional se reduce al método de la contradicción : para la prueba , se comprueba su negación , y dado que la premisa se cumple , se revela una contradicción. $A\Flecha derecha B$ $\neg (A\Flecha derecha B)\equiv \A\land \neg B$ $\neg B\Rightarrow \neg A\equiv \neg (A\land \neg B)$

Como ejemplo de prueba contraposicional, [22] establece el hecho de que si es impar , entonces también es impar ( ), por lo que se prueba la contraposición, que si es par, entonces también es par. $n^{2}$ $norte$ $n \in \mathbb N$ $norte$ $n^{2}$

En los sistemas que no aceptan la ley de la doble negación, la prueba por contraposición no se aplica.

Edificio

Para enunciados como los teoremas de existencia , en los que se formula como resultado la presencia de algún objeto, por ejemplo, la existencia de un número que satisface unas condiciones, el tipo de demostración más característico es el hallazgo directo del objeto deseado utilizando los métodos de el sistema formal correspondiente o usando el contexto de la sección correspondiente. Muchos teoremas de existencia clásicos se prueban por contradicción: al reducir al absurdo la suposición de que un objeto con propiedades dadas no existe, pero tales pruebas se consideran no constructivas y, en consecuencia, en matemáticas intuicionistas y constructivas, solo se utilizan pruebas por construcción. por tales declaraciones.

Quedarse sin opciones

En algunos casos, para probar la afirmación, se clasifican todas las variantes posibles del conjunto en relación con el cual se formula la afirmación ( enumeración completa ) o se dividen todas las variantes posibles en un número finito de clases que representan casos particulares , y para cada una de ellas que la prueba se realiza por separado [23] . Por regla general, la prueba por el método de agotamiento de opciones consta de dos etapas:

estableciendo todos los casos especiales posibles, y probando que no existen otros casos especiales,
prueba de cada caso en particular.

La cantidad de opciones puede ser bastante grande, por ejemplo, para probar la hipótesis de los cuatro colores , se necesitaron casi 2,000 opciones diferentes para clasificarse usando una computadora . La aparición de tales demostraciones a finales del siglo XX en relación con el desarrollo de la tecnología informática planteó la cuestión de su estatus en la ciencia matemática debido a posibles problemas de verificabilidad [24] .

Biyección

La prueba de biyección se usa para establecer afirmaciones sobre el tamaño o la estructura de una colección o la comparabilidad de una colección con cualquier otra colección y consiste en construir una correspondencia uno a uno entre el conjunto en estudio y el conjunto con propiedades conocidas [25] . En otras palabras, la prueba de enunciados sobre una determinada colección se reduce a la prueba mediante la construcción de una biyección , posiblemente con restricciones adicionales, con la colección para la que se conoce este enunciado. $A$ $B$

Los ejemplos más simples de pruebas biyectivas son pruebas de declaraciones combinatorias sobre el número de combinaciones o el número de elementos de conjuntos, ejemplos más complejos son el establecimiento de isomorfismos , homeomorfismos , difeomorfismos , bimorfismos , debido a que las propiedades de un objeto ya conocido que son invariantes con respecto a uno o tipo especial de biyección. $A$ $B$

Cuenta doble

Prueba geométrica

Métodos aplicados

Métodos aproximados

Métodos probabilísticos

Métodos estadísticos

Terminología

Símbolos

Tradicionalmente, el final de la prueba se denotaba con la abreviatura " QED ", de la expresión latina lat. Quod Erat Demonstrandum ("Lo que se requería probar"). En las obras modernas, el signo □ o ■, ‣, //, así como la abreviatura rusa h.t.d., se usa más a menudo para indicar el final de la prueba .

Notas

↑ Bill Casselman. Uno de los diagramas existentes más antiguos de Euclides . Universidad de Columbia Britanica. Consultado el 26 de septiembre de 2008. Archivado desde el original el 4 de junio de 2012. (indefinido)
↑ Diccionario enciclopédico matemático . - M. : " Búhos. enciclopedia ”, 1988. - S. 211 .
↑ Gastev Yu., Smolyansky M. Algunas palabras sobre el último teorema de Fermat // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Teorema de Tsymbalov A. S. Fermat (enlace inaccesible) . Informe de la conferencia . Academia Humanitaria Moderna. Consultado el 14 de mayo de 2011. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2009. (indefinido) }
↑ Kranz, 2011 , Los babilonios tenían ciertos diagramas que indican por qué el teorema de Pitágoras es cierto, y se han encontrado tablillas para validar este hecho, p. 44.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 65-66.
↑ Bourbaki, 1963 , pág. once.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 73.
↑ Krantz, 2011 , <…> Eudoxo que inició la gran tradición de organizar las matemáticas en teoremas <…> Lo que Eudoxo ganó en el rigor y la precisión de sus formulaciones matemáticas, lo perdió porque no probó nada, p. 44-45.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 95.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 59-61.
^ Bourbaki, 1963 , Los escritos de Aristóteles y sus sucesores no parecen haber tenido un impacto notable en las matemáticas. Los matemáticos griegos siguieron en sus estudios el camino propuesto por los pitagóricos y sus seguidores en el siglo IV a. (Theodore, Theaetetus, Eudoxus), y tenían poco interés en la lógica formal al presentar sus resultados, p. 12-14.
↑ Rabinovich, NL El rabino Levi ben Gershom y los orígenes de la inducción matemática // Archivo de Historia de las Ciencias Exactas. - 1970. - Edición. 6 _ - S. 237-248 .
↑ Bourbaki, 1963 , pág. 27
↑ Bourbaki, 1963 , pág. 22
↑ Kranz, 2011 , 3.1. Euler y la profundidad de la intuición, p. 74-75.
↑ Bourbaki, 1963 , pág. 25-26.
↑ Hammack, 2009 , Capítulo 4. Prueba directa, p. 95-109.
↑ Handbook of Mathematical Logic, volumen IV, 1983 , capítulo 3. Teorema de Stetman R. Herbrand y noción de prueba directa de Gentzen, p. 84-99.
↑ Hammack, 2009 , Capítulo 10. Inducción matemática, p. 152-154.
↑ Prueba matemática: artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . Dragalin A. G.
↑ Hammack, 2009 , Capítulo 7. Demostración de enunciados no condicionales, p. 129-138.
↑ Lvovsky S. M., Toom A. L. Analicemos todas las opciones // Kvant . - 1988. - Nº 1 . - S. 42-47 .
↑ Samokhin A. V. El problema de los cuatro colores: una historia inconclusa de la prueba // Soros Educational Journal . - 2000. - Nº 7 . - S. 91-96 . (enlace no disponible)
↑ Stanley R. Problemas de prueba biyectiva ( 18 de agosto de 2009). Consultado el 12 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 13 de mayo de 2013.

Literatura

Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por Yushkevich A.P. , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I.
Libro de referencia sobre lógica matemática. IV. Teoría de prueba y matemática constructiva = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Bourbaki N. Fundamentos de las matemáticas. Lógicas. Teoría de conjuntos // Ensayos sobre la historia de las matemáticas / I. G. Bashmakova (traducido del francés). - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963. - S. 37-53. — 292 págs. — (Elementos de las matemáticas).
Prueba / Yu. A. Gastev // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas = Routes et dédales / Traducido del francés por A. A. Bryadinskaya, editado por I. G. Bashmakova. - M. : Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 págs. — (Matemáticas modernas. Serie popular). — 50.000 copias.
Vladímir Andreevich Uspenski . Los ejemplos más simples de pruebas matemáticas . - MTSNMO , 2011. - 56 págs. - 2000 copias. — ISBN 978-5-94057-879-6 .
Franklin J., Daoud A. Prueba en las Matemáticas. - Sídney : Quakers Hill Press, 2001. - 98 p. — ISBN 1876192003 .
Hammak R. Libro de prueba (inglés) (2009). Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 13 de mayo de 2013.
Krantz SG La prueba está en el pudín. Una mirada a la naturaleza cambiante de la prueba matemática. -N. Y.:Springer, 2011. - 281 p. —ISBN 978-0387489087.

Enlaces

Yu. L. Ershov "Prueba en matemáticas" , programa de A. Gordon del 16 de junio de 2003

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph307639