Vector contravariante
Un vector contravariante generalmente se denomina conjunto (columna) de coordenadas vectoriales en la base habitual (es decir, sus coordenadas contravariantes ) o formas 1 en la misma base, lo que, sin embargo, no es natural para él. El vector contravariante en geometría diferencial y conceptos físicos relacionados es el vector espacial tangente .
- Esta definición es consistente con la definición del tensor de valencia 1 contravariante (ver Tensor ), que es el vector contravariante (vector espacial tangente) como un caso especial de un tensor.
Información básica
Es habitual escribir las coordenadas contravariantes con un superíndice y también, en notación matricial, como un vector de columna (en contraste con la notación con un subíndice y un vector de fila para coordenadas covariantes y, en consecuencia, un " vector covariante ").
Un vector contravariante de muestra es un vector de desplazamiento escrito como un conjunto de incrementos de coordenadas: .
Cualquier conjunto de números que se transforme bajo cualquier cambio de coordenadas de la misma manera (el nuevo conjunto se expresa en términos de la misma matriz en términos del antiguo) representa un vector contravariante.
Cabe señalar que si se define un tensor métrico no degenerado , entonces "vector covariante" y "vector contravariante" son simplemente representaciones diferentes (registros en forma de un conjunto de números) del mismo objeto geométrico: un vector ordinario o 1-formulario . Es decir, el mismo vector se puede escribir como covariante (es decir, un conjunto de coordenadas covariantes) y contravariante (es decir, un conjunto de coordenadas contravariantes). Lo mismo puede decirse de la forma 1. La transformación de una representación a otra se realiza simplemente por convolución con la métrica :
(aquí y más abajo nos referimos a la suma sobre un índice repetido, de acuerdo con la regla de Einstein).
En términos de contenido, los vectores y las formas 1 se distinguen solo por cuál de las representaciones es natural para ellos. Entonces, para formas 1, es natural expandirse en una base dual, como, por ejemplo, para un gradiente, ya que su convolución natural (producto escalar) con un vector ordinario (por ejemplo, desplazamiento) se lleva a cabo sin la participación de una métrica, simplemente sumando los componentes multiplicados. Para vectores ordinarios, como dx i , es natural expandirse en la base principal, ya que convolucionan con otros vectores ordinarios, como el vector de desplazamiento en coordenadas espaciales, con la participación de una métrica. Por ejemplo, un escalar - se obtiene (como diferencial total ) plegando sin la participación de la métrica de un vector covariante , que es una representación natural de la forma 1 del gradiente que actúa sobre un campo escalar, con un vector contravariante , que es una representación natural del vector de desplazamiento habitual en coordenadas; mientras que se convoluciona consigo mismo usando la métrica: , lo cual está en pleno acuerdo con el hecho de que es contravariante.
Si hablamos del espacio físico ordinario, una simple muestra de la covarianza-contravarianza de un vector es cómo su representación natural se convoluciona con un conjunto de coordenadas de desplazamiento espacial , que es un ejemplo de vector contravariante. Los que convolucionan por simple suma, sin la participación de la métrica, son un vector covariante (forma 1), mientras que aquellos con la participación de la métrica son un vector contravariante. Si el espacio y las coordenadas son tan abstractos y notables que no hay forma de distinguir entre la base principal y la base dual, excepto por una elección condicional arbitraria, entonces la distinción significativa entre vectores covariantes y contravariantes desaparece, o se vuelve también puramente condicional.
La cuestión de si exactamente la representación en la que vemos un objeto es natural para él se abordará un poco más arriba. Natural para un vector ordinario es una representación contravariante, mientras que para una forma 1 es covariante.
- Nota: Todos estos términos se usan comúnmente en álgebra tensorial; se entiende que en el espacio en el que existen los objetos descritos (o en la variedad en cuyo espacio tangente existen) hay una métrica (al menos pseudo-riemanniana).
Literatura
- Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .