Círculo de Mohr

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El círculo de Mohr es una representación gráfica de las tensiones normales y las tensiones de corte desarrolladas por el profesor Otto Mohr (1835-1918). [1] .

El círculo de Mohr también se puede usar para encontrar los planos principales y las tensiones principales en la representación gráfica, y esta es una de las formas más fáciles de hacerlo. [2]

Historia

La primera persona en crear una representación gráfica de tensiones para las tensiones longitudinales y transversales de una viga horizontal en flexión fue Karl Kuhlmann . La contribución de Mohr es usar este enfoque para estados de tensión plana y voluminosa y definir un criterio de resistencia basado en el círculo de tensión [3] .

Significado físico

Las fuerzas internas surgen entre las partículas de un cuerpo deformable continuo como reacción a las fuerzas externas aplicadas: superficie y volumen . Esta reacción es consistente con la segunda ley de Newton aplicada a las partículas de los objetos materiales. La magnitud de la intensidad de estas fuerzas internas se denomina tensión mecánica . Dado que el cuerpo se considera sólido, estas fuerzas internas se distribuyen continuamente sobre todo el volumen del objeto en consideración.

En ingeniería, la distribución de tensiones en un objeto se determina mediante el análisis de su estado tensión-deformación para obtener valores de tensión en cada punto material del objeto. Según Cauchy, la tensión en cualquier punto de un cuerpo material sólido está completamente determinada por los nueve componentes de tensión del tensor de tensión , : $\sigma_{ij}$ ${\ estilo de visualización {\ símbolo de negrita {\ sigma}}}$

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matriz}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}& \sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left [{\begin{matriz}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left[{\begin{matriz}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\end{matriz}}\right]

Una vez que se ha determinado la distribución de esfuerzos con respecto al sistema de coordenadas , puede ser necesario determinar los componentes del tensor de esfuerzos en un punto material particular con respecto al sistema de coordenadas rotado , es decir, los esfuerzos que actúan en un sitio con diferente orientaciones que pasan por el punto que nos interesa. Por ejemplo, puede ser necesario encontrar el esfuerzo normal máximo o el esfuerzo cortante máximo y la dirección en la que actúan. Para resolver este problema, es necesario transformar el tensor de tensión. La representación gráfica de esta transformación del tensor de tensión es el círculo de Mohr. $(x,y)$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización (x', y')}$

Ecuaciones del círculo de Mohr

Para obtener la ecuación del círculo de Mohr para un estado tensional plano, se considera un cuerpo material infinitesimal bidimensional, ubicado alrededor de un punto material con una unidad de área en una dirección paralela al plano , es decir, perpendicular al observador. $PAGS$ $y$ $z$

Con base en las condiciones de equilibrio para un cuerpo material infinitamente pequeño, los valores de tensión normal y tensión cortante son iguales a: ${\ estilo de visualización \ sigma _ {\ mathrm {n}}}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ mathrm {n}}}$

\sigma_{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma_{x}+\sigma_{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +{\frac {1}{2}}\tau _{xy}\sen 2\theta

\tau_{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\theta +{\frac { 1}{2}}\tau _{xy}\cos 2\theta

Estas dos ecuaciones son una representación paramétrica del círculo de Mohr.

Derivación de las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr

Considere las condiciones de equilibrio para un prisma triangular formado al cortar un paralelepípedo elemental con una plataforma inclinada. El estrés normal actúa sobre un área de área . De la igualdad de las proyecciones de fuerzas sobre el eje (eje ) obtenemos: ${\ estilo de visualización \ sigma _ {\ mathrm {n}}}$ $dA$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {\ mathrm {n}}}$ $X'$

\ {\begin{alineado}\sum F_{x'}&=\sigma_{\mathrm {n} }dA-\sigma_{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _ {y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma_{x}\cos ^{2}\theta +\sigma_{y}\sin ^{2}\theta +2\tau_{xy}\sin \ theta \cos \theta \\\end{alineado}}

se sabe que

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2)),\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\ theta {2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Entonces puedes conseguir

\sigma_{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma_{x}+\sigma_{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sen 2\theta

El esfuerzo cortante también actúa en un sitio con un área de . De la igualdad de las proyecciones de fuerzas sobre el eje (eje ) obtenemos: ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ mathrm {n}}}$ $dA$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ mathrm {n}}}$ $tu$

\ {\begin{alineado}\sum F_{y'}&=\tau_{\mathrm {n} }dA+\sigma_{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma_{ y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{alineado}}

Se sabe que

\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Entonces puedes conseguir

\tau_{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\theta +\tau_{ xy}\cos 2\theta

Notas

↑ Keaton JR (2018) Círculo de Mohr. En: Bobrowsky PT, Marker B. (eds) Enciclopedia de Ingeniería Geológica. Serie Enciclopedia de Ciencias de la Tierra. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73568-9_206
↑ Tensión principal y plano principal . www.engineeringapps.net . Consultado el 25 de diciembre de 2019. Archivado desde el original el 25 de diciembre de 2019. (indefinido)
↑ Parry, Richard Hawley Grey. Círculos de Mohr, trayectorias de tensiones y geotecnia . - 2. - Taylor & Francis , 2004. - P. 1-30. - ISBN 0-415-27297-1 .