Medidor de estrés

El tensor de tensión (a veces tensor de tensión de Cauchy , tensor de tensión ) es un tensor de segundo rango que describe tensiones mecánicas en un punto arbitrario de un cuerpo cargado que surgen en este punto con sus (cuerpo) pequeñas deformaciones. En el caso de un cuerpo volumétrico, el tensor se suele escribir como una matriz de 3×3:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matriz}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e}_{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matriz}}\right]=\left[{\begin {matriz}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left[{\begin{matriz}\sigma_{xx}&\sigma_{ xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_ {zz}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left[{\begin{matriz}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma_{y}&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z}\\\end{matriz}}\right]

y en el caso de un cuerpo bidimensional (ver el ejemplo a continuación) con una matriz de 2×2:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matriz}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e}_{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{matriz}}\right]=\left[{\begin{matriz}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left[{\begin{matriz}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{matriz}}\right]\equiv \left[{\begin{matriz}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{matriz}}\right]

donde es el vector de tensión mecánica que actúa sobre la superficie . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n)))))$ $e_{n}$

En el caso de una notación matricial (en el sistema de coordenadas cartesianas ), las cantidades (componentes del tensor de tensión) describen las tensiones experimentadas por el cuerpo en un punto dado. En este punto, se dibujan planos especulativos con normales , , .... Las componentes normales de las fuerzas que actúan sobre estos planos están escritas en la diagonal principal , , ..., y en las posiciones restantes hay componentes tangenciales , , . .. de los vectores de tensión en estos planos. $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle\color{Rojo}e_{1}}$ ${\displaystyle\color{Rojo}e_{2}}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {yx}}$ $\tau_{xy}$

En el caso de grandes deformaciones (deformaciones finitas), se deben utilizar enfoques como el tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , el tensor de Biot o el tensor de tensión de Kirchhoff .

El significado físico del tensor de tensiones como ejemplo en el caso bidimensional

La ilustración más simple que permite comprender el significado físico del tensor de tensión probablemente no sea considerar el caso de la tensión en algún cuerpo volumétrico, sino, por el contrario, considerar la tensión en un cuerpo bidimensional plano. Para hacer esto, considere la tensión de una pieza de tela bajo una carga externa (ver Fig. A ).

La figura muestra una pieza rectangular de tela bajo carga externa, que está representada por flechas negras a lo largo del perímetro del rectángulo. En este caso, la carga puede estirarse con las manos en diferentes direcciones o estirar la tela en alguna forma compleja.

Es intuitivamente claro que debido a la forma, la orientación de las moléculas, las capas atómicas y el diferente tejido de las fibras (en la Fig. A , la ubicación de las fibras se muestra esquemáticamente con una fina cuadrícula gris) en diferentes puntos de la tela , el estrés será diferente: en algún lugar habrá áreas sujetas a estiramiento vertical , y en otras áreas, las fibras experimentarán un esfuerzo cortante .

Cada punto de la superficie de una pieza de tela tiene su propio valor de tensión único. Esto significa que cada punto del tejido corresponde a su propio objeto matemático: un tensor de segundo rango. ${\ estilo de visualización \ mathbf {T}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {T}}$

Para comprender cómo el tensor muestra el estado de tensión en cualquier punto de la tela, puede hacer un pequeño corte en ese punto y observar en qué dirección divergirán estos cortes. Entonces, en la fig. E hicimos dos cortes en diferentes puntos de la tela: la dirección de un corte se muestra con la línea de puntos roja, la dirección del otro se muestra con la línea de puntos azul. Para describir matemáticamente la dirección de estos cortes, se utiliza un vector normal (un vector perpendicular al plano de corte). Entonces, para un corte , el vector normal es rojo y está dirigido perpendicularmente al plano del corte; para un corte, la situación es similar. La dirección de crecimiento del desgarro en el tejido se indica mediante vectores violetas . ${\ estilo de visualización \ mathbf {T}}$ ${\ estilo de visualización \ color {rojo} c}$ ${\ estilo de visualización \ color {azul} c}$ ${\ estilo de visualización \ color {rojo} c}$ $\color {rojo}{\vec {c}}$ ${\ estilo de visualización \ color {azul} c}$ $\color {RojoVioleta}{\vec {t))$

Para predecir dónde se desarrollará el corte, solo se usa el tensor de tensión. Matemáticamente, esta predicción se vería así:

Defina una "función de tensor" cuyos argumentos sean las coordenadas de puntos dentro del cuerpo y cuyo valor sea un tensor que describa el estado de tensión en un punto dado del cuerpo. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)) ,$
Seleccione un punto en el cuerpo, por ejemplo, y obtenga un tensor que describa el estado de tensión en el punto . ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}),}$ ${\ estilo de visualización f (x, y)}$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Determine la dirección del plano en el que se cortará el cuerpo. $\color {rojo}{\vec {c}}$
Multiplique la dirección del corte en un punto por el tensor de tensión en un punto dado , que en notación matemática se ve como $\color {rojo}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {rojo}{\vec {c}}}=\color {RojoVioleta}{\vec {t}}.$
El vector y mostrará dónde se extenderá el corte en el punto . $\color {RojoVioleta}{\vec {t))$ $\color {rojo}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$

Los cortes y son vectores, y la tensión en un punto es un tensor. $\color {rojo}{\vec {c}}$ $\color {azul}{\vec {c}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {T}}$

Debe entenderse que las incisiones multidireccionales realizadas en el mismo punto del cuerpo darán como resultado una respuesta diferente del tejido. Este fenómeno se muestra en la Fig. B , donde el crecimiento de la ruptura del tejido se produce en diferentes direcciones y con diferente intensidad , en respuesta a diferentes direcciones de las incisiones iniciales y realizadas en el mismo punto. $\color {RojoVioleta}{\vec {t))$ $||{\color {RojoVioleta}{\vec {t))}||$ $\color {rojo}{\vec {c}}$ ${\ vec {c}}$

Solo para describir un comportamiento tan complejo, se utilizan tensores, que en este caso sirven como funciones vectoriales definidas en cada punto de un trozo de tejido, que ponen todas las direcciones posibles de cortes de acuerdo con todas las direcciones posibles de ruptura adicional del tejido. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\ vec {c}}$ ${\ vec {t}}$

Derivación de componentes tensoriales

Los componentes del tensor de tensión en el sistema de coordenadas cartesianas (es decir, ) se presentan de la siguiente manera. Se considera un volumen infinitesimal de un cuerpo (medio continuo) en forma de paralelepípedo rectangular, cuyas caras son ortogonales a los ejes de coordenadas y tienen áreas . Las fuerzas superficiales actúan sobre cada cara del paralelepípedo . Si designamos las proyecciones de estas fuerzas sobre el eje como , entonces las componentes del tensor de tensión son la relación de las proyecciones de la fuerza al área de la cara sobre la que actúa esta fuerza: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $buey_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{dF_{ij}}{dS_{i}}

No hay suma por índice aquí. Los componentes , , , también denotados como , , son tensiones normales , representan la relación de la proyección de la fuerza sobre la normal al área de la cara considerada : $i$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{aa}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{dF_{11}}{dS_{1}}

etc.

Las componentes , , , también denotadas como , , son tensiones tangenciales , representan la relación de la proyección de la fuerza en las direcciones tangenciales al área de la cara considerada : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{dF_{12}}{dS_{1}}

etc.

En ausencia de un momento angular intrínseco de un medio continuo, así como pares volumétricos y superficiales, el tensor de tensión es simétrico (la llamada ley de emparejamiento de esfuerzos cortantes), que es una consecuencia de la ecuación de equilibrio del momento angular . En particular, el tensor de tensión es simétrico en la teoría clásica de la elasticidad y en la hidrodinámica de fluidos ideales y linealmente viscosos .

El tensor de tensiones en la física relativista

En términos de la teoría de la relatividad , los componentes del tensor de tensión son los nueve componentes espaciales del tensor de energía-momento .

El tensor de tensiones en la electrodinámica clásica

En electrodinámica clásica , el tensor de tensión del campo electromagnético ( tensor de tensión de Maxwell [1] , tensor de tensión de Maxwell [2] ) en el Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la forma:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}O,

donde es la densidad de energía del campo electromagnético. $W$

Véase también

Notas

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Tensor de tensión de Maxwell // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1992. - T. 3: Magnetoplásmico - Teorema de Poynting. - S. 32-33. — 672 pág. - 48.000 ejemplares. — ISBN 5-85270-019-3 .

Literatura

Sedov L. I. Mecánica continua. Volumen 1. M.: Nauka, 1970. 492 p.
Truesdell K. Curso inicial de mecánica racional continua. M.: Nauka, 1975. 592 págs.
Dimitrienko Yu. I. Mecánica continua no lineal. Moscú: Fizmatlit, 2010.