Superficie cúbica
En geometría algebraica, una superficie cúbica es una superficie algebraica dada por un polinomio homogéneo de tercer grado en un espacio proyectivo .
Podemos aceptar o .
27 líneas en una superficie cúbica
Un resultado notable y no trivial de la geometría algebraica es que cuando la superficie no es singular (es decir, en cada punto de la superficie al menos una derivada parcial del polinomio no se anula), y el campo fundamental es el campo de números complejos, exactamente 27 líneas se encuentran en la superficie cúbica. Este es el teorema de Cayley - Salmon , establecido en 1849 por Salmon después de que Cayley demostrara que el número de líneas en una superficie cúbica de este tipo es siempre finito.
Por supuesto, sobre el campo de números reales en la superficie puede que no haya 27 líneas. Sin embargo, se puede demostrar que el número de líneas reales es 3, 7, 15 o 27. Todas estas posibilidades se realizan.
Ejemplos
Superficie Fermat
El polinomio es un polinomio homogéneo de grado 3, y la superficie cúbica que define (llamada superficie de Fermat ) es . Esta superficie no es singular y contiene 27 líneas. En este caso, el polinomio es lo suficientemente simple como para describirlos explícitamente: salvo una permutación de coordenadas, tienen la forma , donde son las raíces cúbicas de . Arriba hay tres raíces cúbicas de −1, y el argumento combinatorio muestra que el número total de líneas es 27.
![{\displaystyle \{[X:Y:Z:T]\in \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )\ |\ X^{3}+Y^{3}+Z^{ 3}+T^{3}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f21a82f48d74c83887b22340e95b8ce2de4e74)
![{\ estilo de visualización [X: \ rho X: Z: \ rho 'Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d995502b6fefc6dda712f76db7dbdfa24b2cb2)
Sobre el campo de los números reales, solo hay una raíz cúbica de −1, lo que da tres líneas rectas.
Superficie de Clebsch
La superficie de Clebsch es una superficie cúbica cuya ecuación es , y tiene 27 rectas reales:
- , salvo una permutación de coordenadas, son tres rectas.
- , hasta una permutación de coordenadas, - 12 rectas.
- , donde , da 12 líneas.
![{\ estilo de visualización [X:-X:Z:-Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7dcb4b2007a818733986b865fd9c47e2ce3aef)
![{\ estilo de visualización [0:Y:-Y:T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b348a254116c8d3fc98c7962a372321eb76aa390)
![{\displaystyle [X:Y:-X-\phi Y:-\phi XY]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bef580ea2c2ba1b40de7924cefa60b24caf8bc6)
Vemos que las 27 líneas se encuentran en el espacio proyectivo sobre el campo de los números reales, e incluso en .
![{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\left(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bfd03a16e9241209ab64dab496be074409bb5e)
Superficie Cayley
La superficie de Cayley está definida por la ecuación
Esta superficie es especial, las cuatro derivadas parciales se anulan en cuatro puntos.
![{\ estilo de visualización [1:0:0:0],[0:1:0:0],[0:0:1:0],[0:0:0:1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cce362d5240b3b224db02ec002628fc521ee3d)
Por lo tanto, este es un ejemplo en el que no se aplica el teorema de Cayley-Salmon. Sin embargo, esta superficie todavía contiene líneas, en particular, líneas que conectan puntos singulares.
Literatura
- Miles Reid , Licenciado en Geometría Algebraica, CUP, 1989.
Enlaces
- Superficie cúbica Mathcurve
- Étienne Ghys, Jos Leys , Des Surfaces Cubiques en DVD - Images des Mathématiques, [Centro Nacional de Investigación del CNRS], 2008