Superficie algebraica

Una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos. En el caso de la geometría sobre el campo de los números complejos, una superficie algebraica tiene dimensión dos compleja (como una variedad compleja si es no singular ), y por lo tanto tiene dimensión cuatro como una variedad suave .

La teoría de las superficies algebraicas es sustancialmente más compleja que la teoría de las curvas algebraicas (incluidas las superficies compactas de Riemann , que son superficies genuinas de dimensión (real) dos). Sin embargo, la escuela italiana de geometría algebraica obtuvo muchos resultados hace casi cien años.

Clasificación por dimensión de Kodaira

En el caso de la dimensión uno, las variedades se clasifican solo por género topológico , pero en la dimensión dos, la diferencia entre el género aritmético y el género geométrico se vuelve significativa, ya que no podemos distinguir biracionalmente solo el género topológico. Introducimos la noción de irregularidad para la clasificación de superficies. $p_{a}$ ${\ Displaystyle p_ {g}}$

Ejemplos de superficies algebraicas (aquí κ es la dimensión de Kodaira ):

κ=−∞: plano proyectivo , cuádricas en P 3 , superficies cúbicas , superficie Veronese , superficies del Pezzo , superficies regladas
κ=0 : Superficies K3 , Superficies abelianas , Superficies de Enriques , Superficies hiperelípticas
κ=1: superficies elípticas
κ=2: superficies de tipo general .

Otros ejemplos se pueden encontrar en el artículo ''Lista de superficies algebraicas'' .

Los primeros cinco ejemplos son de hecho biracionalmente equivalentes . Es decir, por ejemplo, el campo de funciones racionales en una superficie cúbica es isomorfo al campo de funciones racionales en el plano proyectivo , que es el campo de funciones racionales en dos variables. El producto cartesiano de dos curvas también es un ejemplo.

Geometría birracional de superficies

La geometría birracional de las superficies algebraicas es rica debido a la transformación de "explosión" (que también se conoce como "transformación monoidal"), en la que un punto se reemplaza por una curva de todas las direcciones tangentes acotadas en él (una línea proyectiva ). Algunas curvas se pueden contraer , pero hay una limitación (el índice de autointersección debe ser −1).

Propiedades

El criterio de Nakai establece que:

Un divisor D [1] sobre una superficie S es amplio si y sólo si D 2 > 0 y D • C > 0 para todas las curvas irreducibles C sobre S [2] [3] .

Un divisor amplio tiene la útil propiedad de que es la imagen inversa del divisor hiperplano de algún espacio proyectivo cuyas propiedades son bien conocidas. Sea un grupo abeliano formado por todos los divisores de S . Entonces, por el teorema de la intersección , ${\mathcal {D}}(S)$

{\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

se puede considerar como una forma cuadrática . Dejar

{\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0

para todos

X\in {\mathcal {D}}(S)\}

luego se vuelve numéricamente equivalente al grupo de clase de la superficie S y ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$

Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D)),{\bar {E)))\mapsto D\cdot E

también se convierte en una forma cuadrática en , donde está la imagen del divisor D en S . (La letra D se usa a continuación para la imagen ). ${\ número de estilo de visualización (S)}$ ${\ estilo de visualización {\ bar {D))}$ ${\ estilo de visualización {\ bar {D))}$

Para una gavilla amplia H sobre S la definición

\{H\}^{\perp}:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.

conduce a una versión del teorema de Hodge sobre el índice en la superficie

porque , es decir, es una forma cuadrática definida negativa.

D\en \{\{H\}^{\perp}|D\neq 0\},D\cdot D<0

{\ estilo de visualización \ {H \} ^ {\ perp}}

Este teorema se demuestra utilizando el criterio de Nakai y el teorema de superficie de Riemann-Roch . Para todos los divisores de este teorema es cierto. Este teorema no es solo una herramienta para el estudio de superficies, sino que fue utilizado por Deligne para demostrar las conjeturas de Weil , ya que es cierto en todos los campos algebraicamente cerrados. ${\ estilo de visualización \ {H \} ^ {\ perp}}$

Los resultados básicos en la teoría de superficies algebraicas son el teorema del índice de Hodge y la descomposición en cinco grupos de clases de equivalencia racional, lo que se conoce como clasificación de Enriques-Kodaira o clasificación de superficies algebraicas . Una clase de tipo general con dimensión Kodaira 2 es muy grande (por ejemplo, contiene superficies no singulares de grado 5 y superior en P 3 ).

Hay tres invariantes numéricos básicos de Hodge para una superficie. Entre estos están h 1,0 , que se llama la irregularidad y se denota como q , yh 2,0 , que se llama el género geométrico p g . La tercera invariante, h 1,1 , no es una invariante birracional , ya que la ampliación puede sumar curvas completas de la clase H 1,1 . Se sabe que los ciclos de Hodge son algebraicos y que la equivalencia algebraica es lo mismo que la equivalencia homológica, por lo que h 1,1 es un límite superior para ρ, el rango del grupo Néron-Severi . El género p a es igual a la diferencia

género geométrico - irregularidad.

Este hecho explica por qué se denomina así a la irregularidad, ya que se trata de una especie de “término residual”.

Notas

↑ La definición de divisor se puede encontrar en Hartshorne ( Hartshorn 1981 )
↑ Averu et al., 1985 , pág. 119.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 459, Teorema 1.10.

Literatura

IV Dolgachev. Enciclopedia de Matemáticas / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Óscar Zariski. Superficies algebraicas. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1995. - (Clásicos de las Matemáticas). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
J. Averou, L. Bernard-Bergerie, J.-P. Bourgoignon, P. Gauduchon, A. Derdzinski, J. La Fontaine, P. Case, D. Meyer, A. Polombo, P. Sentenac. Geometría de Riemann en cuatro dimensiones / Arthur Besse. - M. : "Mir", 1985.
R. Hartshorne. geometría algebraica. - M. : "Mir", 1981.

Enlaces

Software gratuito SURFER Archivado el 2 de julio de 2017 en Wayback Machine para visualizar superficies algebraicas
SingSurf Archivado el 8 de mayo de 2017 en Wayback Machine , un visor 3D interactivo para superficies algebraicas.
La página sobre superficies algebraicas comenzó en 2008. Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
Descripción general y reflexiones sobre el diseño de superficies algebraicas. Archivado el 2 de abril de 2017 en Wayback Machine .