Sistema lagrangiano

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En matemáticas , un sistema lagrangiano es un par de un paquete suave y una densidad lagrangiana que define el operador diferencial de Euler-Lagrange que actúa sobre las secciones del paquete . ${\ estilo de visualización (Y, L)}$ $Y a X$ $L$ $Y a X$

En mecánica clásica , muchos sistemas dinámicos son lagrangianos. El espacio de configuración de un sistema lagrangiano de este tipo es el paquete sobre el eje del tiempo (en particular , si el marco de referencia es fijo). En la teoría clásica de campos , todos los sistemas de campos son lagrangianos. $Q\to \mathbb {R}$ $\matemáticas {R}$ $Q=\mathbb {R} \veces M$

La densidad lagrangiana (o simplemente lagrangiana ) de orden se define como la forma -, dim , en la variedad jet del orden de las secciones del haz . El Lagrangiano se puede introducir como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial de formas exteriores en las variedades jet del haz . El operador cofrontera de este bicomplejo contiene un operador variacional que, actuando sobre , determina el operador de Euler-Lagrange asociado . Con respecto a las coordenadas en el paquete y las coordenadas correspondientes ( , ) en la variedad de chorro, el operador de Lagrange y Euler-Lagrange tienen la forma: $L$ $r$ $norte$ $n=$ $X$ $J^{r}Y$ $r$ $Y$ $L$ $O_{\infty}^{*}(Y)$ ${\ estilo de visualización Y \ a X}$ $\delta$ $L$ ${\ estilo de visualización \ delta L}$ ${\ estilo de visualización (x ^ {\ lambda}, y ^ {i})}$ $Y$ $(x^{\lambda},y^{i},y_{\Lambda}^{i})$ ${\ estilo de visualización \ Lambda = (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {k})}$ $|\Lambda |=k\leq r$ $J^{r}Y$ $L$

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,

\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta_{i}{\mathcal {L} }=\parcial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\parcial _{i }^{\Lambda }{\mathcal {L)),

dónde

d_{\Lambda }=d_{\lambda_{1))\cdots d_{\lambda_{k)),\qquad d_{\lambda }=\parcial_{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\parcial _{i}+\cdots ,

denote las derivadas totales. Por ejemplo, el lagrangiano de primer orden y el operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _ {i}L=\parcial _ {i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\parcial_{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.

El núcleo del operador de Euler-Lagrange define la ecuación de Euler-Lagrange . ${\ estilo de visualización \ delta L = 0}$

La cohomología del bicomplejo variacional define la llamada fórmula variacional

dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},

dónde

d_{H}\phi =dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)

es el diferencial total y es el equivalente de Lepage del Lagrangiano . Los teoremas primero y segundo de Noether son consecuencias de esta fórmula variacional. ${\ estilo de visualización \ Theta _ {L}}$ $L$

Siendo generalizado a variedades graduadas , el bicomplejo variacional describe sistemas Lagrangianos graduados de variables pares e impares.

En otra variante, la lagrangiana, el operador de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones .

Véase también

Literatura

Olver, P. Aplicaciones de grupos de mentiras a ecuaciones diferenciales, 2 ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 ( arXiv: 0908.1886 )

Enlaces

Sardanashvily, G. , Formalismo lagrangiano graduado, Int. G. Geom. Métodos Mod. física 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (enlace no disponible)